Обобщающий урок №1 по теме «Квадратные корни». Домашняя работа. 1 Вычислить: a) $$5\sqrt{36}$$; б) $$\frac{1}{2}\sqrt{100}$$. в) $$\sqrt{9\cdot16}$$; г) $$-\frac{1}{9}\sqrt{144}$$; д) $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}$$; 2 Вычислить: a) $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{50}$$. б) $$\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{9}$$; в) $$\sqrt{0,5}\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{0,01}$$; г) $$\sqrt{2704}$$; 3 Найти значение выражения: a) $$\sqrt{(98-15)(61 + 22)}$$; б) $$\sqrt{125^2-100^2}$$; в) $$\sqrt{11^2\cdot5^4}$$; г) $$\sqrt{(0,6)^2\cdot(-0,3)^1}$$; д) $$(\sqrt{5} - 3)^2 + (2 + \sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}$$; e) $$(\sqrt{11}+\sqrt{5})(\sqrt{11}-\sqrt{5})$$. 4 Упростить выражение: a) $$(\sqrt{15}+3\sqrt{5}):\sqrt{5}-\sqrt{3}$$; б) $$(\frac{2}{5}\sqrt{50}+3\sqrt{\frac{2}{9}}):\sqrt{2}$$. 5 Вычислить: a) $$\frac{28}{\sqrt{16}\cdot\sqrt{49}}$$; б) $$\frac{\sqrt{48}\cdot\sqrt{3}}{12}$$; в) $$\sqrt{\frac{25}{100}}$$; г) $$\sqrt{\frac{14}{7}}$$; д) $$\sqrt{\frac{11^5}{11^4}}$$; e) $$5\sqrt{\frac{19}{25}}$$; 6 Найти значение выражения: a) $$\frac{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}{2\sqrt{3}}$$; б) $$\frac{2}{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\cdot\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}$$. 7 Исключить иррациональность из знаменателя: a) $$\frac{8}{\sqrt{2}}$$; б) $$\frac{5}{\sqrt{7}}$$; в) $$\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$$; г) $$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$$. 8 Выполнить действия: a) $$\frac{1}{\sqrt{x} + y} - \frac{1}{y-\sqrt{x}}$$; б) $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{a}} : \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{2}$$; в) $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$$; 9 Найти значение выражения: $$\sqrt{(3 -2x)^2}$$ при х = -1, x = 0, x = 2, x = 3. 10 Упростить: а) $$\sqrt{(3 - x)^2}$$ при х<3; x≥3; б) $$\sqrt{x^2} - \sqrt{(3 + 2x)^2}$$ при х≥0; x <-1,5.

Ответ:

1. 1. Вычислить:
   1. $$5\sqrt{36} = 5 \cdot 6 = 30$$
   2. $$\frac{1}{2}\sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$$
   3. $$\sqrt{9\cdot16} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$$
   4. $$-\frac{1}{9}\sqrt{144} = -\frac{1}{9} \cdot 12 = -\frac{4}{3}$$
   5. $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$$
2. 2. Вычислить:
   1. $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 50} = \sqrt{100} = 10$$
   2. $$\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{9} = \sqrt{8 \cdot 2} \cdot 3 = \sqrt{16} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$$
   3. $$\sqrt{0,5}\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{0,01} = \sqrt{0,5 \cdot 32 \cdot 0,01} = \sqrt{16 \cdot 0,01} = \sqrt{0,16} = 0,4$$
   4. $$\sqrt{2704} = 52$$
3. 3. Найти значение выражения:
   1. $$\sqrt{(98-15)(61 + 22)} = \sqrt{83 \cdot 83} = 83$$
   2. $$\sqrt{125^2-100^2} = \sqrt{(125-100)(125+100)} = \sqrt{25 \cdot 225} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{225} = 5 \cdot 15 = 75$$
   3. $$\sqrt{11^2\cdot5^4} = \sqrt{11^2}\cdot\sqrt{5^4} = 11 \cdot 5^2 = 11 \cdot 25 = 275$$
   4. $$\sqrt{(0,6)^2\cdot(-0,3)^1} = \sqrt{0.36 \cdot (-0,3)} = \sqrt{-0.108}$$ (не имеет смысла, так как под корнем отрицательное число)
   5. $$(\sqrt{5} - 3)^2 + (2 + \sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} = (5 - 6\sqrt{5} + 9) + (4 + 4\sqrt{5} + 5) + 2\sqrt{5} = 5 - 6\sqrt{5} + 9 + 4 + 4\sqrt{5} + 5 + 2\sqrt{5} = 23$$
   6. $$(\sqrt{11}+\sqrt{5})(\sqrt{11}-\sqrt{5}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{5})^2 = 11 - 5 = 6$$
4. 4. Упростить выражение:
   1. $$(\sqrt{15}+3\sqrt{5}):\sqrt{5}-\sqrt{3} = \frac{\sqrt{15}+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} = \sqrt{\frac{15}{5}} + 3 - \sqrt{3} = \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = 3$$
   2. $$(\frac{2}{5}\sqrt{50}+3\sqrt{\frac{2}{9}}):\sqrt{2} = (\frac{2}{5}\sqrt{25 \cdot 2} + 3\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}):\sqrt{2} = (\frac{2}{5} \cdot 5\sqrt{2} + 3\frac{\sqrt{2}}{3}):\sqrt{2} = (2\sqrt{2} + \sqrt{2}):\sqrt{2} = 3\sqrt{2}:\sqrt{2} = 3$$
5. 5. Вычислить:
   1. $$\frac{28}{\sqrt{16}\cdot\sqrt{49}} = \frac{28}{4 \cdot 7} = \frac{28}{28} = 1$$
   2. $$\frac{\sqrt{48}\cdot\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{48 \cdot 3}}{12} = \frac{\sqrt{144}}{12} = \frac{12}{12} = 1$$
   3. $$\sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
   4. $$\sqrt{\frac{14}{7}} = \sqrt{2}$$
   5. $$\sqrt{\frac{11^5}{11^4}} = \sqrt{11^{5-4}} = \sqrt{11^1} = \sqrt{11}$$
   6. $$5\sqrt{\frac{19}{25}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{25}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{19}}{5} = \sqrt{19}$$
6. 6. Найти значение выражения:
   1. $$\frac{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5-2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$
   2. $$\frac{2}{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\cdot\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{5}}} = \frac{2}{\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}} = \frac{2}{\sqrt{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}} = \frac{2}{\sqrt{7-5}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$
7. 7. Исключить иррациональность из знаменателя:
   1. $$\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$
   2. $$\frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7}$$
   3. $$\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}-\sqrt{2}$$
   4. $$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{7-3} = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$$
8. 8. Выполнить действия:
   1. $$\frac{1}{\sqrt{x} + y} - \frac{1}{y-\sqrt{x}} = \frac{y-\sqrt{x} - (\sqrt{x}+y)}{(\sqrt{x}+y)(y-\sqrt{x})} = \frac{y-\sqrt{x} - \sqrt{x}-y}{y^2 - x} = \frac{-2\sqrt{x}}{y^2 - x}$$
   2. $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{a}} : \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-\sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}}{2-a}$$
   3. $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
9. 9. Найти значение выражения: $$\sqrt{(3 -2x)^2}$$ при х = -1, x = 0, x = 2, x = 3.
   1. При x = -1: $$\sqrt{(3 - 2(-1))^2} = \sqrt{(3+2)^2} = \sqrt{5^2} = 5$$
   2. При x = 0: $$\sqrt{(3 - 2(0))^2} = \sqrt{(3-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$$
   3. При x = 2: $$\sqrt{(3 - 2(2))^2} = \sqrt{(3-4)^2} = \sqrt{(-1)^2} = 1$$
   4. При x = 3: $$\sqrt{(3 - 2(3))^2} = \sqrt{(3-6)^2} = \sqrt{(-3)^2} = 3$$
10. 10. Упростить:
    1. а) $$\sqrt{(3 - x)^2}$$ при х<3; x≥3; Если x < 3: $$\sqrt{(3 - x)^2} = 3 - x$$ Если x ≥ 3: $$\sqrt{(3 - x)^2} = -(3 - x) = x - 3$$
    2. б) $$\sqrt{x^2} - \sqrt{(3 + 2x)^2}$$ при х≥0; x <-1,5. Если x ≥ 0: $$\sqrt{x^2} - \sqrt{(3 + 2x)^2} = x - (3 + 2x) = x - 3 - 2x = -x - 3$$ Если x < -1,5: $$\sqrt{x^2} - \sqrt{(3 + 2x)^2} = -x - (-(3 + 2x)) = -x + 3 + 2x = x + 3$$