9. Обоснуйте, почему при любых значениях переменной значение многочлена всегда положительно. a) x² + 6x + 10; b) x² + 2x + 3; c) 4y² - 4y + 6; d) a² + b² + 2ab + 1; e) x² + y² - 2xy + 5,2; f) 9x² + 4 - 6xy + a².

Решение:

Для доказательства того, что значение многочлена всегда положительно, нужно привести каждое выражение к виду квадрата суммы или разности, плюс некоторое положительное число.

a) x² + 6x + 10;

\[x^2 + 6x + 10 = x^2 + 2 \cdot 3x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1\]

Так как \((x + 3)^2 \ge 0\) для любого x, то \((x + 3)^2 + 1 > 0\).

b) x² + 2x + 3;

\[x^2 + 2x + 3 = x^2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)^2 + 2\]

Так как \((x + 1)^2 \ge 0\) для любого x, то \((x + 1)^2 + 2 > 0\).

c) 4y² - 4y + 6;

\[4y^2 - 4y + 6 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1 + 5 = (2y - 1)^2 + 5\]

Так как \((2y - 1)^2 \ge 0\) для любого y, то \((2y - 1)^2 + 5 > 0\).

d) a² + b² + 2ab + 1;

\[a^2 + b^2 + 2ab + 1 = (a + b)^2 + 1\]

Так как \((a + b)^2 \ge 0\) для любых a и b, то \((a + b)^2 + 1 > 0\).

e) x² + y² - 2xy + 5,2;

\[x^2 + y^2 - 2xy + 5.2 = (x - y)^2 + 5.2\]

Так как \((x - y)^2 \ge 0\) для любых x и y, то \((x - y)^2 + 5.2 > 0\).

f) 9x² + 4 - 6xy + a².

\[9x^2 + a^2 - 6xy + 4 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 + a^2 - y^2 + 4 = (3x - y)^2 + a^2 - y^2 + 4\]

Чтобы это выражение было всегда положительным, нужно чтобы \(a^2 - y^2 + 4 > 0\) при любых значениях a и y. Это не всегда выполняется. Например, если a = 0 и y = 3, то \(0 - 9 + 4 = -5 < 0\). Но если мы перегруппируем выражение следующим образом:

\[9x^2 + 4 - 6ax + a^2 = (3x - a)^2 + 4\]

Тогда, так как \((3x - a)^2 \ge 0\) для любых x и a, то \((3x - a)^2 + 4 > 0\).

Ответ: Все данные выражения всегда положительны, кроме исходного варианта f), которое требует корректировки в условии.

Отлично, ты хорошо поработал! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!