Обозначим через ДЕЛ(п, т) утверждение «натуральное число и делится без остатка на натуральное число т». Для какого наибольшего натурального числа А формула -ДЕЛ(х, А) → (ДЕЛ(х, 35) → ДЕЛ(х, 10)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Рассмотрим формулу: ¬ДЕЛ(x, A) → (ДЕЛ(x, 35) → ДЕЛ(x, 10)).

Эта формула тождественно истинна, если она принимает значение 1 при любом натуральном x. Преобразуем формулу, используя логические эквивалентности:

¬ДЕЛ(x, A) → (ДЕЛ(x, 35) → ДЕЛ(x, 10)) ≡ ДЕЛ(x, A) ∨ (¬ДЕЛ(x, 35) ∨ ДЕЛ(x, 10)).

Формула будет истинной, если выполняется одно из условий:

• ДЕЛ(x, A) – x делится на A
• ¬ДЕЛ(x, 35) – x не делится на 35
• ДЕЛ(x, 10) – x делится на 10

Иными словами, нам нужно, чтобы формула была истинной для всех x. Рассмотрим случай, когда x делится на 35, но не делится на 10. То есть x = 35k, где k - натуральное число. Чтобы формула была истинной, нужно, чтобы x делилось на A.

Если x делится на 35, то x = 35k. Чтобы x не делилось на 10, k должно быть нечетным. Например, x = 35 (k=1). Тогда x = 35.

В этом случае, чтобы выполнялось условие ДЕЛ(x, A), необходимо, чтобы 35 делилось на A. Таким образом, A является делителем числа 35. Делители 35: 1, 5, 7, 35.

Но рассмотрим случай, когда x = 70. Тогда x делится и на 35, и на 10. Тогда необходимо, чтобы 70 делилось на A.

Делители 70: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

Общие делители 35 и 70: 1, 5, 7, 35.

Теперь нужно рассмотреть случай, когда x не делится ни на 35, ни на 10. Пусть x = 1. Тогда 1 должно делиться на A, то есть A = 1.

Рассмотрим число 5. Если x = 35, то x делится на 35, но не делится на 10. Тогда x должно делиться на A. То есть 35 должно делиться на 5. Если x = 10, то x делится на 10, значит, x не обязано делиться на A.

Рассмотрим число 7. Если x = 35, то x делится на 35, но не делится на 10. Тогда x должно делиться на A. То есть 35 должно делиться на 7. Если x = 10, то x делится на 10, значит, x не обязано делиться на A.

Рассмотрим число 35. Если x = 35, то x делится на 35, но не делится на 10. Тогда x должно делиться на A. То есть 35 должно делиться на 35. Если x = 10, то x делится на 10, значит, x не обязано делиться на A.

Заметим, что если x не делится на A, то должно выполняться (ДЕЛ(x, 35) → ДЕЛ(x, 10)).

Если A = 1, то ДЕЛ(x, A) всегда истинно, и тогда ¬ДЕЛ(x, A) всегда ложно. Значит, все выражение всегда ложно, что противоречит условию.

При A = 5: Если x = 35, то x делится на 35, но не делится на 10. 35 не делится на 5. Нужно чтобы ¬ДЕЛ(x, 35) ∨ ДЕЛ(x, 10) была истинна.

При A = 7: Если x = 35, то x делится на 35, но не делится на 10. 35 не делится на 7. Нужно чтобы ¬ДЕЛ(x, 35) ∨ ДЕЛ(x, 10) была истинна.

При A = 35: Если x = 35, то x делится на 35, но не делится на 10. 35 не делится на 35. Нужно чтобы ¬ДЕЛ(x, 35) ∨ ДЕЛ(x, 10) была истинна.

Чтобы формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы если x делится на 35, то x делилось на 10.

Пусть A = 1. Тогда ¬ДЕЛ(x, 1) всегда ложно, и тогда ¬ДЕЛ(x, 1) → (ДЕЛ(x, 35) → ДЕЛ(x, 10)) будет ложным, если ДЕЛ(x, 35) → ДЕЛ(x, 10) ложно.

Нужно найти наибольшее такое A, чтобы (ДЕЛ(x, 35) → ДЕЛ(x, 10)) было истинно при всех x, не делящихся на A.

Если x делится на 35, то x = 35k. Чтобы x делилось на 10, 35k должно делиться на 10. То есть 7k должно делиться на 2. Значит, k должно быть четным.

Получаем, что если x делится на 35, то x делится на 70. То есть ДЕЛ(x, 70).

Наибольшее A = 35.

Ответ: 35