Обозначим через ДЕЛ(п, т) утверждение «натуральное число п делится без остатка на т». Для какого наименьшего натурального числа А формула (ДЕЛ(х, 15) л -ДЕЛ(х, 21)) → (-ДЕЛ(х, А) ѵ -ДЕЛ(х, 15)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Для решения данной задачи необходимо преобразовать логическое выражение и определить, при каком наименьшем натуральном числе A формула будет тождественно истинной.

Исходная формула:

$$(\text{ДЕЛ}(x, 15) \land
eg \text{ДЕЛ}(x, 21)) \rightarrow (
eg \text{ДЕЛ}(x, A) \lor
eg \text{ДЕЛ}(x, 15))$$

Преобразуем импликацию, используя эквивалентность $$a \rightarrow b =
eg a \lor b$$:

$$
eg (\text{ДЕЛ}(x, 15) \land
eg \text{ДЕЛ}(x, 21)) \lor (
eg \text{ДЕЛ}(x, A) \lor
eg \text{ДЕЛ}(x, 15))$$

Применим закон де Моргана: $$
eg (a \land b) =
eg a \lor
eg b$$:

$$(
eg \text{ДЕЛ}(x, 15) \lor \text{ДЕЛ}(x, 21)) \lor (
eg \text{ДЕЛ}(x, A) \lor
eg \text{ДЕЛ}(x, 15))$$

Перегруппируем члены:

$$(
eg \text{ДЕЛ}(x, 15) \lor
eg \text{ДЕЛ}(x, 15)) \lor \text{ДЕЛ}(x, 21) \lor
eg \text{ДЕЛ}(x, A)$$

Упростим выражение: $$
eg \text{ДЕЛ}(x, 15) \lor \text{ДЕЛ}(x, 21) \lor
eg \text{ДЕЛ}(x, A)$$

Чтобы формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы для любого x хотя бы одно из условий было истинным. Другими словами, должно выполняться одно из следующих условий:

1. x не делится на 15
2. x делится на 21
3. x не делится на A

Рассмотрим случай, когда x делится на 15 и не делится на 21. Это означает, что x имеет вид $$15k$$, где $$k$$ - натуральное число, и при этом $$x$$ не делится на 21. Наименьшее такое число - 15 (k=1). Тогда, чтобы формула была истинной, 15 не должно делиться на A. Значит, А не должно быть делителем 15. Делители 15: 1, 3, 5, 15. Наименьшее натуральное число, которое не является делителем 15, это 2. Если А = 2, то формула будет истинна.

Теперь рассмотрим другой подход. Чтобы формула всегда была истинной, нужно чтобы любое число x, которое делится на 15 и не делится на 21, не делилось на A. Это означает, что A должно быть таким числом, чтобы x не делилось на A. Для этого A должно быть делителем 15 и не делителем 21.

Разложим 15 и 21 на простые множители:

$$15 = 3 \cdot 5$$

$$21 = 3 \cdot 7$$

Общий делитель 15 и 21: 3.

A должно быть таким, чтобы если x делится на 15, то x не делится на A. Минимальное значение A, которое удовлетворяет этому условию, это 35. Если A=35, формула будет тождественно истинна. Но нам нужно наименьшее A.

Если А = 3, то условие $$
eg ДЕЛ(x, A)$$ будет означать, что x не делится на 3. Но если x делится на 15, то x делится и на 3, что противоречит условию. Значит A должно быть больше 3.

Если A = 5, то условие $$
eg ДЕЛ(x, A)$$ будет означать, что x не делится на 5. Но если x делится на 15, то x делится и на 5, что противоречит условию. Значит A должно быть больше 5.

Если А = 35, то получается, что нужно найти такое наименьшее A, чтобы если x делится на 15 и не делится на 21, то x не делится на A. То есть чтобы число 15k не делилось на A.

Предположим А = 35.

$$15 = 3 \times 5$$

$$21 = 3 \times 7$$

Нужно найти число, которое делится на 15, но не делится на 21, и не делится на 35.

15 - делится на 15, не делится на 21, не делится на 35

30 - делится на 15, не делится на 21, не делится на 35

45 - делится на 15, не делится на 21, не делится на 35

60 - делится на 15, не делится на 21, не делится на 35

Получается, что наименьшее A = 35.

Ответ: 35