Обозначим через т&п поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел т и n. Так, например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула (x&91 = 0) / ((x&77 = 0)→(x&A ≠ 0)) тождественно истинна, т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ формулы

  Формула имеет вид:

  \[(x \& 91 = 0) \lor ((x \& 77 = 0) \rightarrow (x \& A
  eq 0))\]

  Для того чтобы эта формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы при любом x она принимала значение 1.

• Шаг 2: Преобразование импликации

  Заменим импликацию на эквивалентное выражение:

  \[(x \& 91 = 0) \lor (
  eg(x \& 77 = 0) \lor (x \& A
  eq 0))\]

  Или:

  \[(x \& 91 = 0) \lor ((x \& 77
  eq 0) \lor (x \& A
  eq 0))\]
• Шаг 3: Упрощение выражения

  Объединим дизъюнкцию:

  \[(x \& 91 = 0) \lor (x \& 77
  eq 0) \lor (x \& A
  eq 0)\]
• Шаг 4: Анализ условия истинности

  Для истинности этого выражения достаточно, чтобы хотя бы одно из условий выполнялось.

  Если x & 91 ≠ 0, то первое условие ложно. Если x & 77 = 0, то второе условие ложно.

  Чтобы выражение было всегда истинным, нужно, чтобы при x & 91 ≠ 0 и x & 77 = 0 выполнялось x & A ≠ 0.

• Шаг 5: Нахождение А

  Разложим 91 и 77 на простые множители в двоичной системе:

  91 = 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 2⁶ + 2⁴ + 2³ + 2¹ + 2⁰ = 1011011₂

  77 = 64 + 8 + 4 + 1 = 2⁶ + 2³ + 2² + 2⁰ = 1001101₂

  Нужно найти такое A, чтобы x & A ≠ 0, когда x & 91 ≠ 0 и x & 77 = 0.

  Определим биты, которые должны быть в A:

  • Бит 0: В 91 и 77 есть 1, значит, в x может быть 0.
  • Бит 1: В 91 есть 1, в 77 нет, значит, в A должен быть 1.
  • Бит 2: В 77 есть 1, в 91 нет, значит, в A должен быть 1.
  • Бит 3: В 91 и 77 есть 1, значит, в x может быть 0.
  • Бит 4: В 91 есть 1, в 77 нет, значит, в A должен быть 1.
  • Бит 5: В 91 и 77 нет 1, значит, в x может быть 0.
  • Бит 6: В 91 и 77 есть 1, значит, в x может быть 0.

  Таким образом, A должно быть равно 011010₂ = 26₁₀

Ответ: 26