Обозначим за ω описанную окружность остроугольного треугольника ABC с высотой AN. O — центр ω, D — отличная от A точка пересечения ω с прямой AN, E — отличная от B точка пересечения ω с прямой BO. Найдите отношение площади треугольника BEC к площади треугольника BCD, если AN/ND = 3. При необходимости ответ округлите до сотых.

Обозначим через N основание высоты, а через h и d — длины AN и ND. Так как N лежит внутри описанной окружности, по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

\(AN\cdot ND=BN\cdot NC\), поэтому \(BN\cdot NC=hd\).

Пусть \(BN=x\), \(NC=y\). Из условия \(h/d=3\), значит \(d=h/3\) и \(xy=hd=h^2/3\).

Выберем координаты \(N=(0,0)\), \(A=(0,h)\), \(B=(-x,0)\), \(C=(y,0)\). Центр окружности O равноудалён от A и B. Из равенства \(OA^2=OB^2\) получаем, что его вертикальная координата равна \((h^2-xy)/(2h)=h/3\). Поскольку E — точка окружности, диаметрально противоположная B, \(E=2O-B=(y,2h/3)\).

У треугольников BEC и BCD общее основание BC. Их высоты к BC равны соответственно \(2h/3\) и \(d=h/3\). Следовательно, отношение площадей равно отношению высот:

\(\dfrac{S_{BEC}}{S_{BCD}}=\dfrac{2h/3}{h/3}=2\).

Ответ: 2