Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 9 см, а противолежащий угол равен 30°. Определи площадь полной поверхности конуса.

Для решения этой задачи нам понадобится знание геометрии конуса и треугольника.

1. Найдем радиус основания конуса, используя информацию о вписанном треугольнике. Так как в основании конуса лежит треугольник, одна из сторон которого равна 9 см, а противолежащий угол равен 30°, то по теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin A} = 2R$$

где $$a$$ - сторона треугольника, $$A$$ - противолежащий угол, $$R$$ - радиус описанной окружности (в данном случае, радиус основания конуса).

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{9}{2\sin 30^\circ} = \frac{9}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 9 \text{ см}$$

2. Найдем образующую конуса (l). Угол между образующей и плоскостью основания равен 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса (h), радиусом основания (R) и образующей (l). Тогда:

$$\cos 60^\circ = \frac{R}{l}$$

$$l = \frac{R}{\cos 60^\circ} = \frac{9}{\frac{1}{2}} = 18 \text{ см}$$

3. Площадь полной поверхности конуса (S_полн) вычисляется по формуле:

$$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$$

где $$S_{\text{осн}}$$ - площадь основания конуса, $$S_{\text{бок}}$$ - площадь боковой поверхности конуса.

$$S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi (9)^2 = 81\pi \text{ см}^2$$

$$S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi (9)(18) = 162\pi \text{ см}^2$$

$$S_{\text{полн}} = 81\pi + 162\pi = 243\pi \text{ см}^2$$

Ответ: 243