Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка y"-4y'+4y=0 имеет вид... Выберите правильный вариант:

Решение:

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \( y'' - 4y' + 4y = 0 \).

Составим характеристическое уравнение: \( k^2 - 4k + 4 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \).

Так как \( D = 0 \), характеристическое уравнение имеет один действительный корень кратности 2: \( k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \).

В случае одного действительного корня кратности 2, общее решение имеет вид: \( y = (C_1 + C_2x)e^{kx} \).

Подставляя \( k=2 \), получаем: \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} \).

Среди предложенных вариантов, правильным является:

• \( y = e^{2x}(C_1 + C_2x) \)

Ответ: y = e^2x(C₁ + C₂x).