Общее решение уравнения (2x+1)dy+y² dx=0 имеет вид ...

Решение:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

\[ \frac{dy}{y^2} = -\frac{dx}{2x+1} \]

Интегрируем обе части уравнения:

\[ \int \frac{dy}{y^2} = -\int \frac{dx}{2x+1} \]

Вычисляем интегралы:

\[ -\frac{1}{y} = -\frac{1}{2} \ln|2x+1| + C \]

Умножаем обе части на -1:

\[ \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \ln|2x+1| - C \]

Так как \( C \) — произвольная постоянная, то \( -C \) также произвольная постоянная, которую можно обозначить той же буквой \( C \).

\[ \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \ln|2x+1| + C \]

Выразим \( y \):

\[ y = \frac{1}{\frac{1}{2} \ln|2x+1| + C} \]

Чтобы привести к виду одного из предложенных ответов, нужно преобразить константу.

Рассмотрим еще раз:

\[ -\frac{1}{y} = -\frac{1}{2} \ln|2x+1| + C_1 \]

Умножим на 2:

\[ -\frac{2}{y} = -\ln|2x+1| + 2C_1 \]

Пусть \( C_2 = 2C_1 \).

\[ -\frac{2}{y} = -\ln|2x+1| + C_2 \]

Умножим на -1:

\[ \frac{2}{y} = \ln|2x+1| - C_2 \]

Пусть \( C = -C_2 \).

\[ \frac{2}{y} = \ln|2x+1| + C \]

Теперь выразим \( y \):

\[ y = \frac{2}{\ln|2x+1| + C} \]

Этот вариант соответствует одному из предложенных ответов.