Обведите номер, который соответствует номеру выбранного вами ответа 1. Через точку и прямую 1) можно провести только одну плоскость: 2) нельзя провести плоскость, 3) можно провести бесконечно много плоскостей. 2. Для доказательства параллельности двух прямых достаточно утверждать, что они... 1) не пересекаются; 2) перпендикулярны некоторой прямой, 3) не пересекаются и лежат в одной плоскости. 3. Из данных утверждений выберите неверное. 1) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой; 2) Если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна их линии пересечения; 3) Прямые параллельны одной плоскости параллельны. 4. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, линейные размеры которого 6 см, 5 см и 4 см. 5. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота этой призмы равна 3√3. Найдите объем и площадь полной поверхности призмы. 6. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 120 см3. Решите задание и запишите полное обоснованное решение и ответ. 7. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 12 см, а диагональ боковой грани 13 см. Найдите боковую поверхность и объем призмы.

Часть 1

1. Через точку и прямую:

Логика такая: Через точку и прямую можно провести только одну плоскость.

Ответ: 1) можно провести только одну плоскость.

2. Для доказательства параллельности двух прямых достаточно утверждать, что они...

Разбираемся: Для доказательства параллельности двух прямых достаточно утверждать, что они не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Ответ: 3) не пересекаются и лежат в одной плоскости.

3. Из данных утверждений выберите неверное.

Смотри, как это работает: Неверным является утверждение, что если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна их линии пересечения.

Ответ: 2) Если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна их линии пересечения.

Часть 2

4. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, линейные размеры которого 6 см, 5 см и 4 см.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Расчет объема параллелепипеда:

\[ V = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \text{ см}^3 \]

Ответ: 120 см³

5. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота этой призмы равна 3√3. Найдите объем и площадь полной поверхности призмы.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Площадь основания (правильный треугольник):

\[ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ см}^2 \]

• Шаг 2: Объем призмы:

\[ V = S_{\text{осн}} \cdot h = \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \text{ см}^3 \]

• Шаг 3: Площадь боковой поверхности:

\[ S_{\text{бок}} = P \cdot h = 3 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

• Шаг 4: Площадь полной поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Объем = 9 см³, Площадь полной поверхности = 20√3 см²

6. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 120 см3.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Площадь основания (прямоугольный треугольник):

\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2 \]

• Шаг 2: Высота пирамиды:

\[ h = \frac{3V}{S_{\text{осн}}} = \frac{3 \cdot 120}{24} = 15 \text{ см} \]

Ответ: 15 см

Часть 3

7. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 12 см, а диагональ боковой грани 13 см. Найдите боковую поверхность и объем призмы.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем высоту призмы (она же второй катет в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - диагональ боковой грани, а первый катет - сторона основания):

\[ h = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

• Шаг 2: Боковая поверхность:

\[ S_{\text{бок}} = P \cdot h = 4 \cdot 12 \cdot 5 = 240 \text{ см}^2 \]

• Шаг 3: Объем призмы:

\[ V = S_{\text{осн}} \cdot h = a^2 \cdot h = 12^2 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 720 \text{ см}^3 \]

Ответ: Боковая поверхность = 240 см², Объем = 720 см³