Объясните, почему система уравнений не имеет решений или имеет бесконечное множество решений (в последнем случае запишите ответ и приведите примеры решений системы): a) {x + y = 5, x + y = 4; б) {x - 3y = 6, x - 3y = 0; в) {x + y = 4, 2x + 2y = 8; г) {3x - y = 5, 9x - 3y = 15; д) {3x + y = 1, 6x + 2y = 12; e) {2x + 4y = 2, 0,5x + y = 0,5. Дано одно из двух уравнений системы: у = 0,5x - 2. Подберите из приведённых ниже уравнений такие, чтобы полученная система: а) не имела решения; б) имела единственное решение; в) имела бесконечное множество решений. 2y - x = 1; 2y + x = 0; x - 2y = 4; 2y - x + 4 = 0; 2x - y = 2.

Задача №514

Привет! Разберёмся с системами уравнений и выясним, когда они не имеют решений или имеют бесконечное множество решений.

а) \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases}\)

Логика такая: У этих уравнений левые части одинаковы, а правые — разные. Это означает, что не существует значений \(x\) и \(y\), которые могли бы одновременно удовлетворять обоим уравнениям.

Ответ: Система не имеет решений.

б) \(\begin{cases} x - 3y = 6 \\ x - 3y = 0 \end{cases}\)

Разбираемся: Здесь тоже левые части уравнений идентичны, а правые — различны. Это говорит о том, что система не имеет решений, так как одна и та же комбинация \(x\) и \(y\) не может давать разные результаты.

Ответ: Система не имеет решений.

в) \(\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}\)

Смотри, тут всё просто: Второе уравнение можно получить, умножив первое уравнение на 2. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Чтобы записать ответ, выразим \(y\) через \(x\): \(y = 4 - x\). Примеры решений: \((0, 4), (1, 3), (2, 2)\).

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений, \(y = 4 - x\).

г) \(\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 9x - 3y = 15 \end{cases}\)

В данном случае: Второе уравнение можно получить, умножив первое уравнение на 3. Это означает, что оба уравнения эквивалентны и описывают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечное множество решений.

Выразим \(y\) через \(x\): \(y = 3x - 5\). Примеры решений: \((1, -2), (2, 1), (3, 4)\).

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений, \(y = 3x - 5\).

д) \(\begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases}\)

Логика такая: Если умножить первое уравнение на 2, получим \(6x + 2y = 2\). Но во втором уравнении \(6x + 2y = 12\). Левые части равны, а правые — нет, значит, система не имеет решений.

Ответ: Система не имеет решений.

е) \(\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ 0.5x + y = 0.5 \end{cases}\)

Смотри, как это работает: Если умножить второе уравнение на 4, получим \(2x + 4y = 2\), что идентично первому уравнению. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и система имеет бесконечное множество решений.

Выразим \(y\) через \(x\): \(y = 0.5 - 0.5x\). Примеры решений: \((0, 0.5), (1, 0), (2, -0.5)\).

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений, \(y = 0.5 - 0.5x\).

Задача №515

Дано уравнение: \(y = 0.5x - 2\). Подберём уравнения, чтобы система: а) не имела решения; б) имела единственное решение; в) имела бесконечное множество решений.

а) Не имеет решения

Чтобы система не имела решения, нужно уравнение, параллельное данному, но с другим свободным членом. Это уравнение должно иметь вид \(y = 0.5x + b\), где \(b
eq -2\). Подходящее уравнение: \(2y - x + 4 = 0\), или \(y = 0.5x - 2\) + 2, то есть \(y = 0.5x + 2\).

Ответ: \(2y - x + 4 = 0\) (или \(x - 2y = 4\))

б) Имеет единственное решение

Чтобы система имела единственное решение, нужно уравнение, не параллельное данному. Это может быть любое уравнение с другим угловым коэффициентом. Подходящие уравнения: \(2y + x = 0\) или \(2x - y = 2\) или \(2y - x = 1\).

Ответ: \(2y + x = 0\) или \(2x - y = 2\) или \(2y - x = 1\)

в) Имеет бесконечное множество решений

Чтобы система имела бесконечное множество решений, нужно уравнение, идентичное данному. Это уравнение должно быть кратно данному. Подходящее уравнение: \(2y - x = -4\), которое можно переписать как \(x - 2y = 4\).

Ответ: \(x - 2y = 4\)