Обычай, который предполагал, что уходящий гость должен обязательно добраться до дома, и если он не мог удержать рюмку, поставленную на посох, то такого гостя хозяева в дорогу не отпускали, а оставляли ночевать у себя в доме, назывался

Решение:

Этот обычай назывался «довезти» или «довести». Он означал, что хозяева несли ответственность за безопасность гостя и должны были убедиться, что он благополучно добрался до дома. Если гость не мог сам дойти до дома, его оставляли ночевать.

Ответ: «довезти» (или «довести»).