13. Объём конуса равен 250. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, от- сечённого от данного конуса проведённой плоскостью.

Пусть объём исходного конуса равен $$V$$, высота равна $$H$$, а радиус основания равен $$R$$. Тогда объём отсечённого конуса равен $$V_1$$, высота равна $$h$$, а радиус основания равен $$r$$.

По условию задачи, высота делится в отношении 1:4, считая от вершины, следовательно:

$$\frac{h}{H} = \frac{1}{5}$$

Конусы подобны, поэтому справедливо соотношение:

$$\frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{1}{5}$$

Объём конуса вычисляется по формуле:

$$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$$

Объём отсечённого конуса:

$$V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Выразим объём отсечённого конуса через объём исходного конуса:

$$V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{R}{5})^2 (\frac{H}{5}) = \frac{1}{3} \pi R^2 H \cdot \frac{1}{5^3} = V \cdot \frac{1}{125}$$

$$V_1 = \frac{V}{125}$$

По условию, $$V = 250$$, тогда:

$$V_1 = \frac{250}{125} = 2$$

Ответ: 2