Объём куба АВCDA,B,C,D, равен 48. Найдите объём пирамиды В,ABCEF, где Е – середина ребра CD, а F – середина ребра AD.

Объем куба $$V_{куба}=a^3$$, где $$a$$ - ребро куба.

Объем пирамиды $$V_{пир}=\frac{1}{3}S_{осн}h$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания, $$h$$ - высота.

1. Найдем ребро куба:

$$a = \sqrt[3]{V_{куба}} = \sqrt[3]{48} = 2\sqrt[3]{6}$$.

2. Рассмотрим пирамиду $$B_1ABCEF$$. Ее основание - пятиугольник $$ABCEF$$. Высота пирамиды равна ребру куба.

3. Найдем площадь основания пирамиды $$S_{ABCEF}$$.

Площадь основания равна разности площади квадрата $$ABCD$$ и площадей двух треугольников: $$\triangle AFD$$ и $$\triangle EСD$$.

Площадь квадрата $$ABCD$$ равна $$a^2 = (2\sqrt[3]{6})^2 = 4\sqrt[3]{36}$$.

Площадь треугольника $$AFD$$ равна $$\frac{1}{2} \cdot AF \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}a \cdot a = \frac{1}{4}a^2 = \frac{1}{4} \cdot 4\sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{36}$$.

Площадь треугольника $$ECD$$ равна $$\frac{1}{2} \cdot EC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}a \cdot a = \frac{1}{4}a^2 = \frac{1}{4} \cdot 4\sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{36}$$.

Тогда площадь пятиугольника $$ABCEF$$ равна $$S_{ABCEF} = a^2 - S_{AFD} - S_{ECD} = 4\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{36} = 2\sqrt[3]{36}$$.

4. Тогда объем пирамиды равен:

$$V_{пир} = \frac{1}{3}S_{ABCEF}h = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt[3]{36} \cdot 2\sqrt[3]{6} = \frac{4}{3}\sqrt[3]{216} = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8$$.

Ответ: 8