6. Один из катетов прямоугольного треугольника на 31 см меньше другого, а площадь треугольника равн 315 см2. Найдите его катеты.

Ответ: 14 см и 45 см

Пусть меньший катет равен x см, тогда больший катет равен (x + 31) см. Площадь треугольника равна 315 см².

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

где a и b — катеты треугольника.

Составим уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 31) = 315\]\[x(x + 31) = 630\]\[x^2 + 31x - 630 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-630) = 961 + 2520 = 3481\]\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 + \sqrt{3481}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 + 59}{2} = \frac{28}{2} = 14\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 - \sqrt{3481}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 - 59}{2} = \frac{-90}{2} = -45\]

Так как длина катета не может быть отрицательной, то подходит только x = 14.

Если x = 14, то второй катет x + 31 = 14 + 31 = 45.

Проверим:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 45 = 7 \cdot 45 = 315\]

Всё верно.

Ответ: 14 см и 45 см