4. Один из корней уравнения 2x² - 7х+с=0 равен 7. Найдите другой корень и свободный член с.

Решим квадратное уравнение, зная один из корней.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$. Тогда по теореме Виета:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}$$

В нашем случае, уравнение имеет вид $$2x^2 - 7x + c = 0$$, где $$a = 2$$, $$b = -7$$, и один из корней, например, $$x_1 = 7$$.

Подставим известные значения в теорему Виета:

$$\begin{cases} 7 + x_2 = -\frac{-7}{2} \\ 7 \cdot x_2 = \frac{c}{2} \end{cases}$$

Решим первое уравнение, чтобы найти $$x_2$$:

$$7 + x_2 = \frac{7}{2}$$ $$x_2 = \frac{7}{2} - 7 = \frac{7}{2} - \frac{14}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5$$

Теперь, когда мы знаем $$x_2$$, мы можем использовать второе уравнение, чтобы найти $$c$$:

$$7 \cdot (-3.5) = \frac{c}{2}$$ $$-24.5 = \frac{c}{2}$$ $$c = -24.5 \cdot 2 = -49$$

Таким образом, другой корень уравнения равен -3.5, а свободный член c равен -49.

Ответ: -3,5; -49