Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 15 см. Определи длину меньшего катета.

Дано:

• Прямоугольный треугольник
• \[ \alpha = 60^{\circ} \]
• \[ a + c = 15 \text{ см} \]

Найти:

• \[ a \text{ (меньший катет)} \]

Решение:

1. Нахождение второго острого угла: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Поэтому второй острый угол \[ \beta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}. \]
2. Связь катета и гипотенузы: Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \[ a = \frac{c}{2} \text{ или } c = 2a. \]
3. Подстановка в уравнение суммы: Подставим выражение для c в исходное уравнение: \[ a + 2a = 15 \]
4. Решение уравнения: \[ 3a = 15 \] \[ a = \frac{15}{3} \] \[ a = 5 \text{ см}. \]
5. Проверка: Если a = 5 см, то c = 2 * 5 = 10 см. Сумма a + c = 5 + 10 = 15 см. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 5 см.