4.Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, a сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу треугольника. 5. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Ми К так, что ВМ = ВК. Докажите, что ∠BAK =∠BCM.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, один из углов которого равен 60°. Тогда другой острый угол равен 90° − 60° = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза равна $$x$$, тогда меньший катет равен $$\frac{x}{2}$$. По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см, то есть

$$x+\frac{x}{2}=42$$

$$\frac{3x}{2}=42$$

$$3x=84$$

$$x=28$$

Гипотенуза равна 28 см.

Ответ: 28 см

5. Дано: треугольник ABC – равнобедренный, AB = BC, BM = BK. Доказать: ∠BAK = ∠BCM.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники BAK и BCM.

AB = BC (по условию, треугольник ABC – равнобедренный);

BK = BM (по условию);

∠B – общий.

Тогда треугольники BAK и BCM равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠BAK = ∠BCM, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что ∠BAK = ∠BCM