Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма длин прилежащих к нему сторон равна 42 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Если один из острых углов равен 60°, то второй острый угол равен 30° (так как сумма углов треугольника 180°, а 180° - 90° - 60° = 30°).

Обозначим катеты как a и b, и гипотенузу как c.

Пусть угол, равный 60°, прилежит к катету a. Тогда:

• \( a = c \cos(60^\circ) \)
• \( b = c \sin(60^\circ) \)

По условию, сумма длин прилежащих к углу сторон равна 42 см. Это означает, что \( a + b = 42 \) см.

Подставим выражения для a и b:

\( c \cos(60^\circ) + c \sin(60^\circ) = 42 \)

Вынесем \( c \) за скобки:

\( c (\cos(60^\circ) + \sin(60^\circ)) = 42 \)

Подставим значения косинуса и синуса:

\( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)

\( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( c \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 42 \)

\( c \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 42 \)

Теперь выразим \( c \):

\( c = \frac{42 \cdot 2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{84}{1 + \sqrt{3}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 1 - \sqrt{3} \):

\( c = \frac{84(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{84(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{84(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{84(1 - \sqrt{3})}{-2} \)

\( c = -42(1 - \sqrt{3}) = 42(\sqrt{3} - 1) \)

Приблизительное значение \( \sqrt{3} ≈ 1.732 \).

\( c ≈ 42(1.732 - 1) = 42(0.732) ≈ 30.744 \)

Ответ: гипотенуза равна \( 42(\sqrt{3} - 1) \) см.