Один из углов прямоугольного \(\triangle\) равен \(60^\text{°}\), а разность гипотенузы и меньшего катета равна \(15\) см. Найти гипотенузу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). По условию один из углов равен \(60^\text{°}\). Пусть \(\angle A = 60^\text{°}\). Тогда \(\angle B = 90^\text{°} - 60^\text{°} = 30^\text{°}\).

Меньший катет находится напротив меньшего угла. В нашем случае это катет \(AC\) (напротив угла \(B=30^\text{°}\)). Гипотенуза — \(AB\).

По условию, разность гипотенузы и меньшего катета равна \(15\) см:

\(AB - AC = 15\)

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в \(30^\text{°}\), равен половине гипотенузы:

\(AC = \frac{1}{2} AB\)

Подставим это в первое уравнение:

\[ AB - \frac{1}{2} AB = 15 \]

\[ \frac{1}{2} AB = 15 \]

\[ AB = 15 \times 2 \]

\[ AB = 30 \text{ см} \]

Гипотенуза равна \(30\) см.

Проверим: если гипотенуза \(AB=30\) см, то меньший катет \(AC = \frac{1}{2} \times 30 = 15\) см. Разность \(AB - AC = 30 - 15 = 15\) см, что соответствует условию.

Ответ: 30 см.