Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны a.

Обозначим основания трапеции через b и B, высоту — через h, а большую боковую сторону — через l. По условию l = a, меньшая диагональ также равна a.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей боковой стороной. Угол между большей боковой стороной и основанием равен \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

2. Горизонтальная проекция большей боковой стороны равна

   \[B-b=a\cos 60^\circ=\frac a2.\]

3. Меньшая диагональ образует прямоугольный треугольник с меньшим основанием и высотой. Поэтому

   \[b^2+h^2=a^2.\]

4. Для большей боковой стороны имеем

   \[(B-b)^2+h^2=a^2.\]

   Сравнивая два равенства, получаем

   \[b^2=(B-b)^2.\]

   Так как длины положительны, то \(b=B-b\). Следовательно,

   \[b=\frac a2,\qquad B=b+\frac a2=a.\]

5. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

   \[m=\frac{B+b}{2}=\frac{a+\frac a2}{2}=\frac{3a}{4}.\]

Ответ: \(\frac{3a}{4}\).