1. Один из углов треугольника в три раза больше второго и на 23° больше третьего. Найти углы треугольника. 2. В равнобедренном треугольнике СОД с основанием СД проведена биссектриса СК. <СКД 99°. Найти углы треугольника Сод. 3. В равнобедренном треугольнике СОД с основанием СД проведены две биссектрисы СК и ДМ, которые пересекаются в точке В. СОД=68°. Найти углы треугольника СВД. 4. Дан треугольник СОД, <СОД=83°, <СДО=290. Найти внешние углы треугольника сод. 5. В равнобедренном треугольнике СОД внешний угол при основании равен 1120. Найти углы равнобедренного треугольника. 6. Найти неизвестные углы треугольника СОД, если <С=110°, а угол <О в 6 раз меньше внешнего угла при вершине Д.

Давай решим эти задачи по геометрии шаг за шагом!

1. Найти углы треугольника

Пусть углы треугольника будут \( x \), \( y \) и \( z \). Из условия задачи мы знаем, что: 1. Один из углов (пусть это будет \( x \)) в три раза больше второго (\( y \)): \( x = 3y \). 2. Этот же угол (\( x \)) на 23° больше третьего (\( z \)): \( x = z + 23 \). 3. Сумма углов треугольника равна 180°: \( x + y + z = 180 \). Теперь составим систему уравнений и решим ее: \[ \begin{cases} x = 3y \\ x = z + 23 \\ x + y + z = 180 \end{cases} \] Выразим \( y \) и \( z \) через \( x \): \[ y = \frac{x}{3}, \quad z = x - 23 \] Подставим эти выражения в третье уравнение: \[ x + \frac{x}{3} + (x - 23) = 180 \] \[ \frac{7x}{3} = 203 \] \[ x = \frac{3 \times 203}{7} = 87 \] Теперь найдем \( y \) и \( z \): \[ y = \frac{87}{3} = 29, \quad z = 87 - 23 = 64 \] Ответ: Углы треугольника равны 87°, 29° и 64°.

2. Найти углы треугольника СОД

В равнобедренном треугольнике \( \triangle СОД \) с основанием \( СД \) проведена биссектриса \( СК \). Дано, что \( \angle СКД = 99^\circ \). Нужно найти углы треугольника \( СОД \). 1. Так как \( СК \) — биссектриса, то \( \angle ДСК = \angle КСО \). 2. \( \angle СКД = 99^\circ \) — внешний угол для треугольника \( \triangle КСO \), поэтому \( \angle СКД = \angle КСО + \angle СОК \). 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е., \( \angle СДО = \angle ДСО \). 4. Пусть \( \angle СДО = \angle ДСО = x \). Тогда \( \angle СОД = 180^\circ - 2x \). Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle СКД \): \[ \angle СКД + \angle СДК + \angle ДСК = 180^\circ \] \[ 99^\circ + x + \angle ДСК = 180^\circ \] \[ \angle ДСК = 180^\circ - 99^\circ - x = 81^\circ - x \] Так как \( СК \) — биссектриса, то \( \angle ДСО = 2 \times \angle ДСК \), то есть \( x = 2(81^\circ - x) \). \[ x = 162^\circ - 2x \] \[ 3x = 162^\circ \] \[ x = 54^\circ \] Тогда \( \angle СДО = \angle ДСО = 54^\circ \) и \( \angle СОД = 180^\circ - 2 \times 54^\circ = 72^\circ \). Ответ: Углы треугольника СОД равны 54°, 54° и 72°.

3. Найти углы треугольника СВД

В равнобедренном треугольнике \( \triangle СОД \) с основанием \( СД \) проведены две биссектрисы \( СК \) и \( ДМ \), которые пересекаются в точке \( В \). Дано, что \( \angle СОД = 68^\circ \). Нужно найти углы треугольника \( \triangle СВД \). 1. В равнобедренном треугольнике \( \triangle СОД \) углы при основании равны: \( \angle ОДС = \angle ОCД \). 2. Сумма углов в треугольнике \( \triangle СОД \) равна 180°, поэтому \( \angle ОДС + \angle ОCД + \angle СОД = 180^\circ \). 3. Так как \( \triangle СОД \) равнобедренный, то \( 2 \times \angle ОДС + 68^\circ = 180^\circ \). 4. \( \angle ОДС = \angle ОCД = \frac{180^\circ - 68^\circ}{2} = 56^\circ \). 5. Так как \( СК \) и \( ДМ \) — биссектрисы, то \( \angle ДСВ = \frac{\angle ОCД}{2} \) и \( \angle СДВ = \frac{\angle ОДС}{2} \). 6. \( \angle ДСВ = \angle СДВ = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ \). 7. Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle СВД \). Сумма углов в этом треугольнике равна 180°: \[ \angle СВД + \angle ДСВ + \angle СДВ = 180^\circ \] \[ \angle СВД + 28^\circ + 28^\circ = 180^\circ \] \[ \angle СВД = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \] Ответ: Углы треугольника СВД равны 28°, 28° и 124°.

4. Найти внешние углы треугольника СОД

Дан треугольник \( \triangle СОД \), \( \angle СОД = 83^\circ \) и \( \angle СДО = 29^\circ \). Нужно найти внешние углы треугольника \( СОД \). 1. Найдем третий угол треугольника \( \triangle СОД \): \[ \angle ДСО = 180^\circ - \angle СОД - \angle СДО = 180^\circ - 83^\circ - 29^\circ = 68^\circ \] 2. Внешний угол при вершине равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним. * Внешний угол при вершине \( С \): \( \angle C_{ext} = \angle СОД + \angle СДО = 83^\circ + 29^\circ = 112^\circ \). * Внешний угол при вершине \( О \): \( \angle O_{ext} = \angle СДО + \angle ДСО = 29^\circ + 68^\circ = 97^\circ \). * Внешний угол при вершине \( Д \): \( \angle Д_{ext} = \angle СОД + \angle ДСО = 83^\circ + 68^\circ = 151^\circ \). Ответ: Внешние углы треугольника СОД равны 112°, 97° и 151°.

5. Найти углы равнобедренного треугольника СОД

В равнобедренном треугольнике \( \triangle СОД \) внешний угол при основании равен 112°. Нужно найти углы равнобедренного треугольника. 1. Пусть \( \angle C \) и \( \angle Д \) — углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда внешний угол при вершине \( C \) равен 112°. 2. Внешний угол равен смежному углу, поэтому \( \angle C + 112^\circ = 180^\circ \). \[ \angle C = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \] 3. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то \( \angle Д = \angle C = 68^\circ \). 4. Найдем угол при вершине \( О \): \[ \angle O = 180^\circ - \angle C - \angle Д = 180^\circ - 68^\circ - 68^\circ = 44^\circ \] Ответ: Углы равнобедренного треугольника СОД равны 68°, 68° и 44°.

6. Найти неизвестные углы треугольника СОД

Дано, что \( \angle С = 110^\circ \), а угол \( \angle О \) в 6 раз меньше внешнего угла при вершине \( Д \). Нужно найти углы треугольника \( \triangle СОД \). 1. Найдем внешний угол при вершине \( Д \). Обозначим внутренний угол при вершине \( Д \) как \( \angle Д \). Тогда внешний угол при вершине \( Д \) равен \( 180^\circ - \angle Д \). 2. Угол \( \angle О \) в 6 раз меньше внешнего угла при вершине \( Д \), поэтому \( \angle О = \frac{1}{6} (180^\circ - \angle Д) \). 3. Сумма углов треугольника равна 180°: \[ \angle С + \angle Д + \angle О = 180^\circ \] \[ 110^\circ + \angle Д + \frac{1}{6} (180^\circ - \angle Д) = 180^\circ \] \[ 110^\circ + \angle Д + 30^\circ - \frac{1}{6} \angle Д = 180^\circ \] \[ \frac{5}{6} \angle Д = 40^\circ \] \[ \angle Д = \frac{6 \times 40^\circ}{5} = 48^\circ \] 4. Теперь найдем \( \angle О \): \[ \angle О = \frac{1}{6} (180^\circ - 48^\circ) = \frac{1}{6} \times 132^\circ = 22^\circ \] Ответ: Углы треугольника СОД равны 110°, 48° и 22°. Надеюсь, тебе все понятно! Если возникнут еще вопросы, обязательно спрашивай. У тебя все получится! Молодец!