234 Один из внешних углов равнобедренного треугольника ра- вен 115°. Найдите углы треугольника. 235 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про- ведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.

Задание 234

Давай разберем по порядку. В равнобедренном треугольнике два угла равны. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Обозначим углы треугольника как α, α и γ. Возможны два случая:

1. Внешний угол при угле α равен 115°. Тогда α + γ = 115°, и так как сумма углов треугольника равна 180°, то 2α + γ = 180°. Выразим γ из первого уравнения: γ = 115° - α. Подставим это во второе уравнение: 2α + 115° - α = 180°, откуда α = 180° - 115° = 65°. Тогда γ = 115° - 65° = 50°.
2. Внешний угол при угле γ равен 115°. Тогда α + α = 115°, то есть 2α = 115°, откуда α = 57.5°. Тогда углы треугольника: 57. 5°, 57.5° и 180° - 2 \cdot 57.5° = 180° - 115° = 65°.

Ответ: 65°, 65°, 50° или 57.5°, 57.5°, 65°

---

Задание 235

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.

Давай нарисуем треугольник и отметим все данные.

Пусть углы при основании равны α. Так как AD - биссектриса, то ∠BAD = ∠CAD = β. Угол ∠ADB = 110°. В треугольнике ABD сумма углов равна 180°, поэтому α + β + 110° = 180°, откуда α + β = 70°.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому 2α + 2β = 180°, откуда α + β = 90°.

Получили систему уравнений: \[\begin{cases} \alpha + \beta = 70 \\ \alpha + 2\beta = 180 \end{cases}\]

Выразим из первого уравнения \(\beta\) и подставим во второе уравнение: \[\beta = 90 - \alpha\] \[\alpha + \beta = 180 - 2\alpha\]

Тогда: \[\begin{aligned} α + 110 &= 180 - α \\ 2α &= 70 \\ α &= 35° \end{aligned}\]

Подставим \(α\) в первое уравнение: \(\beta = 90 - 35 = 55°\).

Углы треугольника ABC равны: ∠B = ∠C = 35°, ∠A = 2β = 2 \cdot 55° = 110°.

Ответ: ∠A = 110°, ∠B = 35°, ∠C = 35°

Молодец, ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!