Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите угол, образованный основанием треугольника и его высотой, проведённой к боковой стороне.

Решение:

1. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Пусть один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110°. Тогда, внутренний угол, смежный с внешним углом в 110°, равен 180° - 110° = 70°.

2. Рассмотрим два случая:

а) Если угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°, то другой угол при основании также равен 70° (так как треугольник равнобедренный). Тогда, угол при вершине равен 180° - 70° - 70° = 40°.

б) Если угол при вершине равен 70°, то углы при основании равны (180° - 70°)/2 = 55°.

3. Рассмотрим случай, когда угол при основании равен 70°, а угол при вершине равен 40°. Высота, проведенная к боковой стороне, образует прямой угол (90°) с этой стороной. Пусть угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен x. Тогда, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, частью боковой стороны и основанием, имеем: x + 40° = 90°, следовательно, x = 90° - 40° = 50°.

4. Рассмотрим случай, когда угол при основании равен 55°. Тогда угол между высотой, проведенной к боковой стороне, и основанием равен: x + 55° = 90°, следовательно, x = 90° - 55° = 35°.

Таким образом, искомый угол может быть равен 35°.

Ответ: 35°