Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 126°. Найдите углы треугольника.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других его углов, не смежных с ним. Так как треугольник равнобедренный, два его угла равны. Внешний угол может быть равен сумме двух равных углов или сумме одного из равных углов и угла при вершине.

1. Случай 1: Внешний угол при основании.
2. Пусть внешний угол при основании равен \( 126^{\circ} \). Тогда смежный с ним внутренний угол (угол при основании) равен \( 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \).
3. Так как треугольник равнобедренный, второй угол при основании также равен \( 54^{\circ} \).
4. Угол при вершине найдём как разность суммы углов треугольника и двух углов при основании: \( 180^{\circ} - (54^{\circ} + 54^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).
5. Случай 2: Внешний угол при вершине.
6. Пусть внешний угол при вершине равен \( 126^{\circ} \). Тогда внутренний угол при вершине равен \( 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \).
7. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Обозначим их за \( x \). Сумма углов треугольника: \( 54^{\circ} + x + x = 180^{\circ} \).
8. \( 2x = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).
9. \( x = \frac{126^{\circ}}{2} = 63^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника могут быть 54°, 54° и 72°, либо 63°, 63° и 54°.