468. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если извест- но, что за 24 ч совместной работы они заасфальтировали 5 та- ких участков?

Решение

Пусть x (час) – время, за которое первая бригада может заасфальтировать участок дороги.

Тогда (x + 4) (час) – время, за которое вторая бригада может заасфальтировать участок дороги.

Производительность первой бригады: \[\frac{1}{x}\] (участка/час)

Производительность второй бригады: \[\frac{1}{x+4}\] (участка/час)

Общая производительность двух бригад: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\]

Известно, что за 24 часа совместной работы они заасфальтировали 5 участков. Значит, общая производительность, умноженная на время работы, равна 5:

\[24 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\right) = 5\]

Решаем уравнение:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{5}{24}\] \[\frac{x+4 + x}{x(x+4)} = \frac{5}{24}\] \[\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{5}{24}\] \[24(2x+4) = 5(x^2+4x)\] \[48x + 96 = 5x^2 + 20x\] \[5x^2 + 20x - 48x - 96 = 0\] \[5x^2 - 28x - 96 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704\] \[x_1 = \frac{28 + \sqrt{2704}}{2 \cdot 5} = \frac{28 + 52}{10} = \frac{80}{10} = 8\] \[x_2 = \frac{28 - \sqrt{2704}}{2 \cdot 5} = \frac{28 - 52}{10} = \frac{-24}{10} = -2.4\]

Так как время не может быть отрицательным, то x = 8.

Следовательно, первая бригада может заасфальтировать участок за 8 часов, а вторая бригада – за 8 + 4 = 12 часов.

Ответ: Первая бригада за 8 часов, вторая бригада за 12 часов.