02 Одна из двух данных последовательностей является арифметиче- ской прогрессией, другая - геометрической прогрессией: (x): 12; 8; 4; ...; (yn): -32; -16; -8; ... а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три её члена. б) Найдите 12-й член геометрической прогрессии.

а) Продолжение прогрессий

• Последовательность (\(x_n\)): 12, 8, 4, ...
  • Разность между членами постоянна: \(8 - 12 = -4\), \(4 - 8 = -4\).
  • Это арифметическая прогрессия с разностью \(d = -4\).
  • Следующие три члена:
  • \(x_4 = 4 - 4 = 0\)
  • \(x_5 = 0 - 4 = -4\)
  • \(x_6 = -4 - 4 = -8\)
• Последовательность (\(y_n\)): -32, -16, -8, ...
  • Отношение между членами постоянно: \(\frac{-16}{-32} = \frac{1}{2}\), \(\frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}\).
  • Это геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = \frac{1}{2}\).
  • Следующие три члена:
  • \(y_4 = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4\)
  • \(y_5 = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2\)
  • \(y_6 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1\)

б) 12-й член геометрической прогрессии

• Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), где \(b_1\) - первый член, \(q\) - знаменатель, \(n\) - номер члена.
• Для данной геометрической прогрессии: \(b_1 = -32\), \(q = \frac{1}{2}\), \(n = 12\).
• Подставляем значения в формулу:

\[b_{12} = -32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12-1} = -32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{11} = -32 \cdot \frac{1}{2^{11}} = -32 \cdot \frac{1}{2048} = -\frac{32}{2048} = -\frac{1}{64}\]

Ответ: а) \(x_4 = 0\), \(x_5 = -4\), \(x_6 = -8\); \(y_4 = -4\), \(y_5 = -2\), \(y_6 = -1\). б) \(b_{12} = -\frac{1}{64}\)