Одна из двух равных окружностей проходит через центр другой окружности. Вычисли длину общей хорды, если радиус окружности равен 4 м.

Решение:

Рассмотрим две равные окружности радиусом \( r = 4 \) м. Центр одной окружности лежит на другой. Общая хорда является перпендикуляром, опущенным из центра одной окружности на другую. Рассмотрим треугольник, образованный центрами окружностей и одной из точек пересечения окружностей. Этот треугольник равносторонний, так как все его стороны равны радиусу \( r = 4 \) м.

Общая хорда делит этот равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Высота одного из этих прямоугольных треугольников, опущенная из центра окружности на хорду, равна половине радиуса, то есть \( \frac{r}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) м.

Пусть \( L \) — длина общей хорды. По теореме Пифагора в одном из прямоугольных треугольников:

\( (\frac{L}{2})^2 + (\frac{r}{2})^2 = r^2 \)

\( (\frac{L}{2})^2 + 2^2 = 4^2 \)

\( (\frac{L}{2})^2 + 4 = 16 \)

\( (\frac{L}{2})^2 = 16 - 4 \)

\( (\frac{L}{2})^2 = 12 \)

\( \frac{L}{2} = \sqrt{12} \)

\( \frac{L}{2} = \sqrt{4 \cdot 3} \)

\( \frac{L}{2} = 2\sqrt{3} \) м.

Теперь найдём полную длину хорды:

\( L = 2 \cdot \frac{L}{2} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) м.

Ответ: Длина общей хорды равна \( 4\sqrt{3} \) м.