Одна из сторон треугольника равна $\sqrt{12}-2$, угол напротив этой стороны равен $15^\circ$. Ещё один угол этого треугольника равен $45^\circ$. Решите треугольник: найдите $AB$, $BC$ и $\angle C$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Одна из сторон треугольника равна $\sqrt{12}-2$, угол напротив этой стороны равен $15^\circ$. Ещё один угол этого…$ Фото задания

Одна из сторон треугольника равна $\sqrt{12}-2$, угол напротив этой стороны равен $15^\circ$. Ещё один угол этого треугольника равен $45^\circ$. Решите треугольник: найдите $AB$, $BC$ и $\angle C$.

Accepted Answer

По рисунку сторона $AC=\sqrt{12}-2$, угол напротив неё — $\angle B=15^\circ$, а $\angle A=45^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle C=180^\circ-45^\circ-15^\circ=120^\circ$.
По теореме синусов: $\dfrac{AC}{\sin 15^\circ}=\dfrac{BC}{\sin 45^\circ}=\dfrac{AB}{\sin 120^\circ}$. Используем данное значение $\sin 15^\circ=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$.
$BC=(\sqrt{12}-2)\dfrac{\sin45^\circ}{\sin15^\circ}=(2\sqrt3-2)\dfrac{1/\sqrt2}{(\sqrt3-1)/(2\sqrt2)}=4$.
$AB=(\sqrt{12}-2)\dfrac{\sin120^\circ}{\sin15^\circ}=(2\sqrt3-2)\dfrac{\sqrt3/2}{(\sqrt3-1)/(2\sqrt2)}=2\sqrt6$.

Ответ: $AB=2\sqrt6$, $BC=4$, $\angle C=120^\circ$.