4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторо- нами 13 см, 20 см и 21 см. 6. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, √14 см. Найдите неизвестную сторону треуголь ника.

4. Пусть одна сторона треугольника равна $$x$$ см, тогда другая $$x+8$$ см. По теореме косинусов: $$28^2 = x^2 + (x+8)^2 - 2 cdot x cdot (x+8) cdot \cos{120^\circ}$$ $$784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 - 2x^2 - 16x cdot (-\frac{1}{2})$$ $$784 = 2x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x$$ $$3x^2 + 24x - 720 = 0$$ $$x^2 + 8x - 240 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 cdot 1 cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 - 32}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ Сторона треугольника не может быть отрицательной, поэтому $$x = 12$$ см. Тогда вторая сторона равна $$x + 8 = 12 + 8 = 20$$ см. Периметр треугольника: $$P = 12 + 20 + 28 = 60$$ см. 5. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника, $$S$$ - его площадь. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$$ $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 cdot 14 cdot 7 cdot 6} = \sqrt{3^3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 cdot 3^2 \cdot 7 = 2 cdot 9 cdot 7 = 126$$ $$R = \frac{13 cdot 20 cdot 21}{4 cdot 126} = \frac{13 cdot 20 cdot 21}{504} = \frac{5460}{504} = \frac{65}{6} \approx 10.83$$ 6. Пусть третья сторона равна $$x$$. По формуле медианы: $$m^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$$ В нашем случае: $$(\sqrt{14})^2 = \frac{2 cdot 6^2 + 2 cdot 8^2 - x^2}{4}$$ $$14 = \frac{2 cdot 36 + 2 cdot 64 - x^2}{4}$$ $$56 = 72 + 128 - x^2$$ $$x^2 = 72 + 128 - 56 = 144$$ $$x = \sqrt{144} = 12$$ Неизвестная сторона треугольника равна 12 см.