Однородный брусок AB массой M постоянного прямоугольного сечения лежит на гладкой горизонтальной поверхности стола, свешиваясь с него менее чем наполовину (см. рисунок). К концу бруска прикреплена лёгкая нерастяжимая нить. Другой конец нити прикреплён к меньшему диску идеального составного блока. На большем диске этого блока закреплена другая лёгкая нерастяжимая нить, на которой висит груз массой m = 1 кг. Диски скреплены друг с другом, образуя единую ось. R = 10 см, r = 5 см. Считайте рисунок с указанными силами, действующими на брусок M, блок и груз m. Найдите минимальное значение M, при котором система тел остаётся неподвижной. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Для груза, находящегося в равновесии, натяжение нити равно его весу: T_R = mg.

Равновесие составного блока требует равенства моментов натяжений относительно оси:

\(T_B r = T_R R\).

Следовательно, натяжение нити, прикреплённой к бруску, равно \(T_B = mg\frac{R}{r} = 1\cdot g\cdot\frac{10}{5}=2g\).

Брусок лежит на гладком столе, поэтому горизонтальных сил нет. Вертикальная реакция стола равна \(N=Mg-T_B\). Чтобы стол мог поддерживать брусок, необходимо \(N\geq 0\), то есть \(M\geq 2\text{ кг}\).

При этом условие «свешиваясь менее чем наполовину» означает, что центр масс бруска находится над частью, лежащей на столе. Для любого \(M>2\text{ кг}\) можно подобрать положение края стола, при котором реакция опоры приложена в допустимом участке контакта и уравновешивает моменты. При \(M=2\text{ кг}\) реакция равна нулю, а натяжение действует за краем стола; при ненулевом свесе моменты не уравновешиваются. Поэтому строго минимального достигаемого значения нет: \(2\text{ кг}\) — нижняя грань, а равновесие возможно при \(M>2\text{ кг}\).

Ответ: равновесие возможно при M > 2 кг; нижняя граница массы — 2 кг, но она не достигается.