3. Однородный куб плавает, погрузившись на глубину 10 см в жидкость. На какую глубину Н в этой же жидкости погрузится куб, имеющий в 5 раз большую плотность и в 2 раза большую длину ребра? Ответ выразить в сантиметрах.

Пусть \( \rho_1 \) - плотность первого куба, \( V_1 \) - его объем, а \( h_1 = 10 \) см - глубина погружения. \( \rho_2 = 5\rho_1 \) - плотность второго куба, и \( a_2 = 2a_1 \), где a - длина ребра куба.

Условие плавания тела: сила тяжести равна силе Архимеда.

Для первого куба:

\[ \rho_1 V_1 g = \rho_{ж} V_{погр1} g \]

где \( \rho_{ж} \) - плотность жидкости, \( V_{погр1} \) - объем погруженной части первого куба. Так как куб, \( V_1 = a_1^3 \) и \( V_{погр1} = a_1^2 h_1 \)

\[ \rho_1 a_1^3 g = \rho_{ж} a_1^2 h_1 g \] \[ \rho_1 a_1 = \rho_{ж} h_1 \]

Для второго куба: \( V_2 = a_2^3 = (2a_1)^3 = 8a_1^3 \) и \( V_{погр2} = a_2^2 h_2 \), где \( h_2 \) - глубина погружения второго куба.

\[ \rho_2 V_2 g = \rho_{ж} V_{погр2} g \] \[ \rho_2 a_2^3 = \rho_{ж} a_2^2 h_2 \] \[ \rho_2 a_2 = \rho_{ж} h_2 \]

Подставим \( \rho_2 = 5\rho_1 \) и \( a_2 = 2a_1 \):

\[ 5\rho_1 \cdot 2a_1 = \rho_{ж} h_2 \] \[ 10\rho_1 a_1 = \rho_{ж} h_2 \]

Но мы знаем, что \( \rho_1 a_1 = \rho_{ж} h_1 \), поэтому:

\[ 10\rho_{ж} h_1 = \rho_{ж} h_2 \] \[ h_2 = 10h_1 \]

Подставим \( h_1 = 10 \) см:

\[ h_2 = 10 \cdot 10 = 100 \] см

Ответ: 100 см