Одновременно зажгли три свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Длина каждой свечи 20 см. Первая свеча была самая толстая, вторая — потоньше, а третья — самая тонкая. В тот момент, когда догорела третья свеча, первую и вторую тоже потушили. Оказалось, что огарок от первой свечи в три раза длиннее, чем от второй. За какое время полностью сгорает третья свеча, если известно, что первая сгорает за 10 ч, а вторая за 5 ч?

Решение:

Обозначим:

• \( L \) — начальная длина свечи (20 см).
• \( t_1, t_2, t_3 \) — время полного сгорания первой, второй и третьей свечи соответственно.
• \( v_1, v_2, v_3 \) — скорость сгорания первой, второй и третьей свечи соответственно.
• \( h_1, h_2 \) — длина огарков первой и второй свечи.

Из условия задачи известно:

• \( L = 20 \) см.
• \( t_1 = 10 \) ч.
• \( t_2 = 5 \) ч.
• \( h_1 = 3h_2 \).

Скорость сгорания свечи равна длине, делённой на время её полного сгорания:

• \( v_1 = \frac{L}{t_1} = \frac{20}{10} = 2 \) см/ч.
• \( v_2 = \frac{L}{t_2} = \frac{20}{5} = 4 \) см/ч.

Пусть \( t_3 \) — время, за которое догорела третья свеча. В этот момент длина сгоревшей части первой свечи равна \( v_1 \cdot t_3 \), а второй — \( v_2 \cdot t_3 \).

Длина огарка — это начальная длина минус сгоревшая часть:

• \( h_1 = L - v_1 \cdot t_3 = 20 - 2t_3 \).
• \( h_2 = L - v_2 \cdot t_3 = 20 - 4t_3 \).

По условию \( h_1 = 3h_2 \). Подставим выражения для \( h_1 \) и \( h_2 \):

\[ 20 - 2t_3 = 3(20 - 4t_3) \]

Раскроем скобки:

\[ 20 - 2t_3 = 60 - 12t_3 \]

Перенесём члены с \( t_3 \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 12t_3 - 2t_3 = 60 - 20 \]

\[ 10t_3 = 40 \]

\[ t_3 = \(\frac{40}{10}\) = 4 \) ч.

Скорость сгорания третьей свечи \( v_3 = \frac{L}{t_3} \) — это скорость самой тонкой свечи. Нам нужно найти время полного сгорания третьей свечи, которое мы уже нашли — \( t_3 \).

Примечание: Задача сформулирована так, что нужно найти время, за которое догорела третья свеча, при условии, что первая и вторая были потушены в этот момент. Это время \( t_3 \).

Ответ: 4 ч.