Одновременно зажгли три свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Длина каждой свечи 24 см. Первая свеча была самая толстая, вторая — потоньше, а третья — самая тонкая. В тот момент, когда догорела третья свеча, первую и вторую тоже потушили. Оказалось, что огарок от первой свечи в два раза длиннее, чем от второй. За какое время полностью сгорает третья свеча, если известно, что первая сгорает за 6 ч, а вторая за 4 ч? Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Обозначим длину сгоревшей части первой свечи как \( L_1 \), второй — \( L_2 \), третьей — \( L_3 \).
2. Общая длина всех свечей \( L = 24 \) см.
3. Скорость сгорания первой свечи: \( v_1 = \frac{24 \text{ см}}{6 \text{ ч}} = 4 \) см/ч.
4. Скорость сгорания второй свечи: \( v_2 = \frac{24 \text{ см}}{4 \text{ ч}} = 6 \) см/ч.
5. Пусть \( t_3 \) — время горения третьей свечи.
6. Длина сгоревшей части первой свечи: \( L_{сгор1} = v_1 · t_3 = 4t_3 \).
7. Длина сгоревшей части второй свечи: \( L_{сгор2} = v_2 · t_3 = 6t_3 \).
8. Длина остатка первой свечи: \( L_{ост1} = 24 - L_{сгор1} = 24 - 4t_3 \).
9. Длина остатка второй свечи: \( L_{ост2} = 24 - L_{сгор2} = 24 - 6t_3 \).
10. По условию, огарок от первой свечи в два раза длиннее, чем от второй: \( L_{ост1} = 2 · L_{ост2} \).
11. Подставим выражения для остатков: \( 24 - 4t_3 = 2(24 - 6t_3) \).
12. Решим уравнение: \( 24 - 4t_3 = 48 - 12t_3 \).
13. Перенесём члены с \( t_3 \) в одну сторону, а константы — в другую: \( 12t_3 - 4t_3 = 48 - 24 \).
14. \( 8t_3 = 24 \).
15. \( t_3 = \frac{24}{8} = 3 \) часа.
16. Третья свеча самая тонкая, значит, скорость её сгорания самая высокая. Её длина 24 см.
17. Чтобы определить время сгорания третьей свечи, нам нужно знать её скорость сгорания.
18. Из условия \( L_{ост1} = 2 · L_{ост2} \) при \( t_3 = 3 \) часа:
19. \( L_{ост1} = 24 - 4 · 3 = 24 - 12 = 12 \) см.
20. \( L_{ост2} = 24 - 6 · 3 = 24 - 18 = 6 \) см.
21. \( 12 = 2 · 6 \) — условие выполняется.
22. Скорость сгорания третьей свечи \( v_3 \). Чтобы определить \( v_3 \), нужно знать, сколько времени горела третья свеча, прежде чем её потушили.
23. Проблема в том, что точное время горения третьей свечи, до момента когда потушили первую и вторую, нам неизвестно. Однако, мы знаем, что третья свеча догорела полностью.
24. За время \( t_3 = 3 \) часа, первая свеча сгорела на 12 см, а вторая на 18 см.
25. Так как третья свеча самая тонкая, она сгорает быстрее.
26. Из условия «когда догорела третья свеча» следует, что она сгорела полностью за \( t_3 = 3 \) часа.
27. Скорость сгорания третьей свечи \( v_3 = \frac{24 \text{ см}}{3 \text{ ч}} = 8 \) см/ч.

Ответ: Третья свеча полностью сгорает за 3 часа.