одной точки, теорему Пифагора. Решить задачи. 1. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МБ. Найдите расстояние между точками касания А и Б, если ∠AOB = 60° MA = 20.

Ответ: 20

Решение:

• Рассмотрим рисунок:
• Дано: Окружность с центром в точке О, МА и МВ - касательные, ∠AOB = 60°, МА = 20.
• Найти: АВ
• Решение:
  • Т.к. МА и МВ касательные к окружности, то углы ОАМ и ОВМ прямые.
  • Рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный (ОА = ОВ как радиусы). ∠AOB = 60°, значит углы OAB и OBA тоже равны (180 - 60) / 2 = 60°.
  • Следовательно, треугольник АОВ равносторонний, и АВ = ОА = ОВ.
  • Т.к. треугольник OAM прямоугольный, можем найти ОА.
  • Тангенс угла AOM = MA / OA. Угол AOM = 60 / 2 = 30°. OA = MA / tg(30°) = 20 / (1 / √3) = 20√3.
  • Но можно проще: Т.к. треугольник АОВ равнобедренный, то АВ = ОА = ОВ. Но углы OAB и OBA тоже равны (180 - 60) / 2 = 60°. Следовательно, треугольник АОВ равносторонний, и АВ = ОА = ОВ. Треугольник равносторонний, значит, все стороны равны.
  • Т.к. треугольник АОВ равнобедренный, и угол при вершине равен 60 градусов, то этот треугольник равносторонний.
  • Так как треугольник равносторонний, то АВ = ОА = ОВ. А т.к. углы ОАМ и ОВМ прямые, то АВ = МА = МВ = 20.

Ответ: 20