ОГЭ 2026. Тренинг по заданию №16

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен \[\frac{8\sqrt{3}}{3}\]. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение:

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой: \[r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\], где a - сторона треугольника. Выразим сторону a через радиус r:

\[a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \frac{8\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16\]

Ответ: 16

Сторона равностороннего треугольника равна \[18\sqrt{3}\] Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности связан со стороной формулой: \[R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\], где a - сторона треугольника.

\[R = \frac{18\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{3} = \frac{18 \times 3}{3} = 18\]

Ответ: 18

Сторона квадрата равна \[8\sqrt{2}\] Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Для квадрата радиус описанной окружности равен половине диагонали. Диагональ квадрата равна \[a\sqrt{2}\] , где a - сторона квадрата.

\[R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \times 2}{2} = 8\]

Ответ: 8

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как центр окружности лежит на стороне AB, то AB - диаметр окружности, и угол ACB - прямой (90°). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

\[\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\]

Ответ: 60

В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = \[18\sqrt{3}\] . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Используем теорему синусов: \[\frac{AB}{\sin C} = 2R\] , где R - радиус описанной окружности.

\[R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{18\sqrt{3}}{2\sin 120^\circ} = \frac{18\sqrt{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18\]

Ответ: 18

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В трапеции, вписанной в окружность, углы при боковой стороне в сумме составляют 180°.

\[\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ\]

Ответ: 121

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции высота равна двум радиусам вписанной окружности.

\[h = 2r = 2 \times 34 = 68\]

Ответ: 68

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.

\[\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 51^\circ + 42^\circ = 93^\circ\]

Ответ: 93

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

Решение:

Сторона квадрата равна двум радиусам, то есть \[a = 2r = 2 \times 7 = 14\]

Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть \[S = a^2 = 14^2 = 196\]

Ответ: 196

В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD - диаметры. Угол AOD равен 114°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол AOD и угол COB вертикальные, следовательно, они равны. Угол COB равен 114°. Угол ACB опирается на дугу CB, которая составляет половину угла COB.

\[\angle ACB = \frac{1}{2} \angle COB = \frac{1}{2} \times 114^\circ = 57^\circ\]

Ответ: 57

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 78°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

\[\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ\]

Ответ: 102

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 46°. Найдите угол NMB.

Решение:

Угол NBA опирается на дугу NA, а угол NMB также опирается на дугу NA, значит, эти углы равны.

\[\angle NMB = \angle NBA = 46^\circ\]

Ответ: 46