ОГЭ по математике 2026 Задание 16.1 1В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно 5√3. Найдите сторону треугольника.

Решение:

Представь себе равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Центр окружности (точка О) в равностороннем треугольнике — это одновременно и центр вписанной, и центр описанной окружности. Также это точка пересечения медиан, биссектрис и высот.

Расстояние от центра окружности до сторон треугольника — это радиус вписанной окружности (обозначим его как $$r$$). По условию, $$r = 5\sqrt{3}$$.

В равностороннем треугольнике существует связь между радиусом вписанной окружности ($$r$$) и стороной треугольника ($$a$$):

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$

Теперь выразим сторону ($$a$$) через радиус ($$r$$):

$$a = r \times 2\sqrt{3}$$

Подставим значение $$r = 5\sqrt{3}$$:

$$a = (5\sqrt{3}) \times 2\sqrt{3}$$

$$a = 5 \times 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}$$

$$a = 10 \times 3$$

$$a = 30$$

Ответ: 30