ОГЭ по математике 2026 Задание 17.5 1 Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Она не такая сложная, как может показаться на первый взгляд.

Что нам дано?

• У нас есть равнобедренная трапеция. Это значит, что боковые стороны у нее равны, и углы при каждом основании тоже равны.
• Из вершины меньшего основания проведена высота.
• Эта высота делит большее основание на два отрезка: 4 и 6.

Что нужно найти?

• Длину меньшего основания трапеции.

Давай рисовать!

Представь себе равнобедренную трапецию. Обозначим ее вершины буквами A, B, C, D, где BC - меньшее основание, а AD - большее. Проведем высоту из вершины B на основание AD. Пусть точка пересечения будет H. Так как трапеция равнобедренная, мы можем провести вторую высоту из вершины C на основание AD, обозначив точку пересечения как K.

Что происходит с большим основанием?

Высота BH делит основание AD на два отрезка: AH и HD. По условию, эти отрезки равны 4 и 6. Важно понять, какой из них какой.

В равнобедренной трапеции, если провести две высоты, то большее основание разделится на три отрезка: два равных отрезка по краям (которые равны разнице полуразностей оснований) и отрезок посередине, равный меньшему основанию.

То есть, если провести высоты из концов меньшего основания, то большее основание поделится на три части. Две крайние части будут равны, а средняя часть будет равна меньшему основанию.

В нашем случае, если высота проведена из конца меньшего основания, она делит большее основание на отрезки 4 и 6. Это означает, что либо:

• Меньшая часть (4) - это отрезок от вершины к высоте, а большая часть (6) - это отрезок от высоты к другой вершине.
• Или наоборот.

Как это поможет нам найти меньшее основание?

Давай рассмотрим отрезок 4 и 6. Так как трапеция равнобедренная, то отрезок, прилегающий к одному из боковых сторон, будет равен отрезку, прилегающему к другой боковой стороне. Значит, два равных отрезка будут равны 4. Тогда средний отрезок, который равен меньшему основанию, будет равен 6.

Но есть нюанс!

Условие гласит, что высота делит большее основание на отрезки 4 и 6. Это значит, что один из этих отрезков может быть равен меньшему основанию.

Рассмотрим возможные варианты:

1. Вариант 1: Меньшее основание равно 6. Тогда два отрезка, на которые делится большее основание, будут 4, 4, и 6. Большее основание будет 4 + 4 + 6 = 14.
2. Вариант 2: Меньшее основание равно 4. Тогда два равных отрезка будут по 6. Средний отрезок (меньшее основание) тогда будет 4. Но тогда большее основание было бы 6 + 4 + 6 = 16. Но тогда отрезки, на которые делит высота, это 6 и 4+6 = 10. Это не совпадает с условием.
3. Вариант 3: Один из отрезков, на которые делит высота, это 4, а другой - 6. Так как трапеция равнобедренная, то мы можем отложить от концов большего основания отрезки, равные полуразности оснований. Эти отрезки равны. Если одно основание $$a$$, другое $$b$$, то эти отрезки равны $$\frac{|a-b|}{2}$$.

Давай примем, что меньшее основание равно x, а большее основание равно y.

Высота, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки 4 и 6.

В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины меньшего основания, то большее основание будет состоять из трех частей: два равных отрезка (пусть по 'a' каждый) и отрезок, равный меньшему основанию ('x').

Таким образом, большее основание y = 2a + x.

Высота делит большее основание на отрезки 4 и 6. Это означает, что:

• Либо a = 4 и x = 6. Тогда большее основание y = 2*4 + 6 = 8 + 6 = 14. Проверяем: большое основание 14, меньшее 6. Отрезки, на которые делится большее основание высотой, проведенной из вершины меньшего основания: 4 (от края до высоты) + 6 (меньшее основание) + 4 (от конца меньшего основания до другого края) = 14. Это подходит!
• Либо a = 6 и x = 4. Тогда большее основание y = 2*6 + 4 = 12 + 4 = 16. Проверяем: большое основание 16, меньшее 4. Отрезки, на которые делится большее основание высотой, проведенной из вершины меньшего основания: 6 (от края до высоты) + 4 (меньшее основание) + 6 (от конца меньшего основания до другого края) = 16. Это тоже подходит!

Внимание! В условии задачи сказано, что высота делит большее основание на отрезки 4 и 6. Это значит, что сумма этих отрезков НЕ обязательно является большим основанием. Высота, проведенная из угла меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник. На большем основании этот треугольник образует отрезок. Другой отрезок, оставшийся на большем основании, будет суммой меньшего основания и второго отрезка, который отсекает вторая высота.

Самый простой способ понять:

В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины меньшего основания, то большее основание делится на три отрезка: отрезок от края до высоты (равный полуразности оснований), само меньшее основание, и отрезок от конца меньшего основания до другого края (тоже равный полуразности оснований).

Пусть меньшее основание = b, большее основание = a.

Полуразность оснований = $$\frac{a-b}{2}$$.

Большее основание делится на отрезки: $$\frac{a-b}{2}$$, b, $$\frac{a-b}{2}$$.

По условию, эти отрезки равны 4 и 6. Это значит, что:

1. Вариант 1: $$\frac{a-b}{2} = 4$$, а b = 6. Тогда $$a-b = 8$$, $$a - 6 = 8$$, $$a = 14$$. Меньшее основание = 6.
2. Вариант 2: $$\frac{a-b}{2} = 6$$, а b = 4. Тогда $$a-b = 12$$, $$a - 4 = 12$$, $$a = 16$$. Меньшее основание = 4.

Оба варианта подходят по условию! Но в задачах ОГЭ обычно имеется в виду, что отрезки, на которые высота делит основание, являются теми самыми частями, на которые разбивается большее основание. Т.е. 4 и 6 - это не все части, а те, на которые падает точка от вершины.

Самый распространенный случай для таких задач:

Высота, опущенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на два отрезка. Один из этих отрезков равен меньшему основанию, а второй равен полуразности оснований.

Пусть меньшее основание = b, большее основание = a.

Тогда отрезки, на которые делится большее основание, равны $$\frac{a-b}{2}$$ и b.

По условию, эти отрезки равны 4 и 6.

Следовательно, у нас есть два случая:

1. $$\frac{a-b}{2} = 4$$ и b = 6.
2. $$\frac{a-b}{2} = 6$$ и b = 4.

Случай 1:

b = 6 (это наше меньшее основание).

$$\frac{a-6}{2} = 4$$

$$a-6 = 8$$

$$a = 14$$.

Проверяем: большее основание 14, меньшее 6. Полуразность = $$\frac{14-6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$. Отрезки, на которые делится большее основание: 4 и 6 (меньшее основание). Все сходится.

Случай 2:

b = 4 (это наше меньшее основание).

$$\frac{a-4}{2} = 6$$

$$a-4 = 12$$

$$a = 16$$.

Проверяем: большее основание 16, меньшее 4. Полуразность = $$\frac{16-4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$. Отрезки, на которые делится большее основание: 6 и 4 (меньшее основание). Все сходится.

Итог:

Оба варианта возможны, но в большинстве таких задач подразумевается, что меньшее из двух данных чисел (4 и 6) является полуразностью оснований, а большее - самим меньшим основанием, или наоборот.

Логика в том, что высота, проведенная из угла меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник. Катет этого треугольника - высота, другой катет - отрезок на большем основании. Этот отрезок равен полуразности оснований. Второй отрезок, оставшийся на большем основании, равен меньшему основанию.

Следовательно, нам даны два отрезка: 4 и 6. Один из них - это $$\frac{a-b}{2}$$, другой - это b.

Вариант 1: $$\frac{a-b}{2} = 4$$ и b = 6.

Вариант 2: $$\frac{a-b}{2} = 6$$ и b = 4.

Условие задачи: