Решение

Рассмотрим четырехугольник KMNO. KM и KN - отрезки касательных, проведенных из точки K к окружности с центром O. Известно, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, углы ∠KMO и ∠KNO - прямые, то есть равны 90°.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит,

∠MKN = 360° - ∠KMO - ∠KNO - ∠MON = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.

Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, то KM = KN. Значит, треугольник KMN - равнобедренный, и OK - биссектриса угла ∠MKN, а также медиана и высота в треугольнике MON.

Тогда ∠MKO = ∠NKO = ∠MKN / 2 = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKO. В нём известна гипотенуза OK и угол ∠MKO. Тогда KM можно найти как:

KM = OK * cos(∠MKO) = 12 * cos(30°) = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Так как KM = KN, то KN = 6√3.

Ответ: KM = KN = 6√3.