Около четырёхугольника ABCD, для которого задано отношение углов A : B : C : D, описали окружность. Выбери отношение углов, при котором это возможно. Выбери все верные варианты.

Решение:

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° (или π радиан).

Для четырёхугольника ABCD это означает, что:

• ∠A + ∠C = 180°
• ∠B + ∠D = 180°

Рассмотрим предложенные варианты:

1. 3 : 5 : 7 : 9
   • Пусть углы равны 3x, 5x, 7x, 9x.
   • Сумма углов: 3x + 5x + 7x + 9x = 24x.
   • Общая сумма углов четырёхугольника: 360°.
   • 24x = 360° → x = 15°.
   • Углы: 45°, 75°, 105°, 135°.
   • Проверим сумму противоположных углов:
   • 45° + 105° = 150° ≠ 180°.
   • 75° + 135° = 210° ≠ 180°.
   • Этот вариант не подходит.
2. 3 : 4 : 6 : 8
   • Пусть углы равны 3x, 4x, 6x, 8x.
   • Сумма углов: 3x + 4x + 6x + 8x = 21x.
   • 21x = 360° → x = 360°/21 = 120°/7.
   • Углы: 3(120/7)°, 4(120/7)°, 6(120/7)°, 8(120/7)°.
   • Углы ≈ 51.4°, 68.6°, 102.9°, 154.3°.
   • Проверим сумму противоположных углов:
   • 51.4° + 102.9° ≈ 154.3° ≠ 180°.
   • 68.6° + 154.3° ≈ 222.9° ≠ 180°.
   • Этот вариант не подходит.
3. 1 : 2 : 3 : 4
   • Пусть углы равны 1x, 2x, 3x, 4x.
   • Сумма углов: 1x + 2x + 3x + 4x = 10x.
   • 10x = 360° → x = 36°.
   • Углы: 36°, 72°, 108°, 144°.
   • Проверим сумму противоположных углов:
   • 36° + 108° = 144° ≠ 180°.
   • 72° + 144° = 216° ≠ 180°.
   • Этот вариант не подходит.
4. 2 : 5 : 4 : 1
   • Пусть углы равны 2x, 5x, 4x, 1x.
   • Сумма углов: 2x + 5x + 4x + 1x = 12x.
   • 12x = 360° → x = 30°.
   • Углы: 2(30)°, 5(30)°, 4(30)°, 1(30)°.
   • Углы: 60°, 150°, 120°, 30°.
   • Проверим сумму противоположных углов:
   • ∠A + ∠C = 60° + 120° = 180°.
   • ∠B + ∠D = 150° + 30° = 180°.
   • Этот вариант подходит.