Около четырёхугольника ABCD, для которого задано отношение углов А : B : C : D, описали окружность. Выбери отношение углов, при котором это возможно. Выбери все верные варианты.

Решение:

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 градусов. Для четырёхугольника ABCD это означает, что \( \angle A + \angle C = 180^{\circ} \) и \( \angle B + \angle D = 180^{\circ} \).

Проверим предложенные варианты отношений углов:

1. Отношение углов в произвольном порядке 3 : 5 : 7 : 9
• Пусть углы равны \( 3x, 5x, 7x, 9x \).
• Сумма противоположных углов:
• \( 3x + 7x = 10x \)
• \( 5x + 9x = 14x \)
• Чтобы сумма углов была 180°, нужно, чтобы \( 10x = 180^{\circ} \) и \( 14x = 180^{\circ} \). Это невозможно, так как \( x \) не может принимать два разных значения одновременно.
• Однако, если углы расположены в порядке A, B, C, D, то A и C — противоположные, B и D — противоположные.
• Пусть \( \angle A = 3x, \angle B = 5x, \angle C = 7x, \angle D = 9x \).
• \( \angle A + \angle C = 3x + 7x = 10x = 180^{\circ} \) \( \implies x = 18^{\circ} \).
• \( \angle B + \angle D = 5x + 9x = 14x \).
• Подставляем \( x = 18^{\circ} \): \( 14 \cdot 18^{\circ} = 252^{\circ} \). Это не равно 180°.
• Рассмотрим все возможные перестановки для пар противоположных углов. Сумма всех углов равна \( 3x+5x+7x+9x = 24x = 360^{\circ} \), значит \( x = 15^{\circ} \).
• Возможные пары противоположных углов: (3x, 5x) и (7x, 9x), (3x, 7x) и (5x, 9x), (3x, 9x) и (5x, 7x).
• Проверим суммы:
• \( 3x + 5x = 8x \), \( 7x + 9x = 16x \). \( 8 \times 15^{\circ} = 120^{\circ} \), \( 16 \times 15^{\circ} = 240^{\circ} \). Не подходит.
• \( 3x + 7x = 10x \), \( 5x + 9x = 14x \). \( 10 \times 15^{\circ} = 150^{\circ} \), \( 14 \times 15^{\circ} = 210^{\circ} \). Не подходит.
• \( 3x + 9x = 12x \), \( 5x + 7x = 12x \). \( 12 \times 15^{\circ} = 180^{\circ} \). Подходит!
• Таким образом, если углы равны \( 3 \times 15^{\circ} = 45^{\circ}, 9 \times 15^{\circ} = 135^{\circ} \) и \( 5 \times 15^{\circ} = 75^{\circ}, 7 \times 15^{\circ} = 105^{\circ} \), то окружность можно описать.
2. Отношение углов в произвольном порядке 3 : 4 : 6 : 8
• Сумма всех углов: \( 3x + 4x + 6x + 8x = 21x = 360^{\circ} \) \( \implies x = \frac{360}{21} = \frac{120}{7}^{\circ} \).
• Возможные суммы противоположных углов:
• \( 3x + 4x = 7x \), \( 6x + 8x = 14x \). \( 7 \times \frac{120}{7}^{\circ} = 120^{\circ} \). Не подходит.
• \( 3x + 6x = 9x \), \( 4x + 8x = 12x \). \( 9 \times \frac{120}{7}^{\circ} = \frac{1080}{7}^{\circ} \). Не подходит.
• \( 3x + 8x = 11x \), \( 4x + 6x = 10x \). \( 11 \times \frac{120}{7}^{\circ} = \frac{1320}{7}^{\circ} \). Не подходит.
• Этот вариант не подходит.
3. Отношение углов строго в заданном порядке 1 : 2 : 3 : 4
• Углы \( A=1x, B=2x, C=3x, D=4x \).
• \( \angle A + \angle C = 1x + 3x = 4x = 180^{\circ} \) \( \implies x = 45^{\circ} \).
• \( \angle B + \angle D = 2x + 4x = 6x \).
• Подставляем \( x = 45^{\circ} \): \( 6 \times 45^{\circ} = 270^{\circ} \). Это не равно 180°.
• Этот вариант не подходит.
4. Отношение углов строго в заданном порядке 2 : 5 : 4 : 1
• Углы \( A=2x, B=5x, C=4x, D=1x \).
• \( \angle A + \angle C = 2x + 4x = 6x = 180^{\circ} \) \( \implies x = 30^{\circ} \).
• \( \angle B + \angle D = 5x + 1x = 6x \).
• Подставляем \( x = 30^{\circ} \): \( 6 \times 30^{\circ} = 180^{\circ} \). Подходит!
• Углы равны: \( \angle A = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}, \angle B = 5 \times 30^{\circ} = 150^{\circ}, \angle C = 4 \times 30^{\circ} = 120^{\circ}, \angle D = 1 \times 30^{\circ} = 30^{\circ} \).
• \( 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ} \) и \( 150^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Отношение углов в произвольном порядке 3:5:7:9. Отношение углов строго в заданном порядке 2:5:4:1.