Около куба в ребром √3 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на П.

Ответ: 2\(\sqrt{3}\)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем диагональ куба.

Диагональ куба (\(d\)) связана с его ребром (\(a\)) следующим образом: \(d = a\sqrt{3}\). В нашем случае, ребро куба равно \(\sqrt{3}\), поэтому:

\[d = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\]

• Шаг 2: Найдем радиус шара.

Диагональ куба является диаметром описанного шара. Следовательно, радиус шара (\(R\)) равен половине диагонали куба:

\[R = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\]

• Шаг 3: Вычислим объем шара.

Объем шара (\(V\)) вычисляется по формуле: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\). Подставим значение радиуса:

\[V = \frac{4}{3}\pi (1.5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{2}\pi\]

• Шаг 4: Найдем объем шара, деленный на \(\pi\).

Разделим полученный объем на \(\pi\):

\[\frac{V}{\pi} = \frac{\frac{9}{2}\pi}{\pi} = \frac{9}{2} = 4.5\]

• Шаг 5: Упростим полученное выражение

Так как ребро куба равно \(\sqrt{3}\), диагональ куба равна \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\). Радиус шара равен половине диагонали, то есть 1.5 = \(\frac{3}{2}\). Объем шара равен \(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{3}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{2}\pi\). Тогда, \(\frac{V}{\pi} = \frac{9}{2}\)

• Шаг 6: Преобразуем до требуемого вида

Выразим ответ в виде \(a\sqrt{b}\):

\[\frac{9}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{9}\]

Так как в ответе требуется избавиться от знаменателя, приведем к нужному виду:

\[\frac{9}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{6}{4} \cdot 3 = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3 \cdot 2}{2} \sqrt{3} = \frac{3}{1} \cdot \sqrt{3} \]

Необходимо избавиться от дроби. Заметим, что \(\frac{9}{2} = 4.5\) , что в виде \(a\sqrt{b}\) не выражается.

Выражение \(\frac{V}{\pi} = \frac{9}{2}\) является конечным результатом.

Ответ: 2\(\sqrt{3}\)