Около квадрата ABCD со стороной 8 см описана окружность с центром О. Найдите площадь сектора, содержащего дугу ВС.

1. Диагональ квадрата ABCD равна $$d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$ см. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: $$R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$ см.

2. Дуга ВС составляет четверть окружности, поэтому центральный угол равен $$360^{\circ}/4 = 90^{\circ}$$ или $$\pi/2$$ радиан.

3. Площадь сектора вычисляется по формуле $$S = \frac{1}{2}R^2\theta$$, где $$\theta$$ - угол в радианах. $$S = \frac{1}{2}(4\sqrt{2})^2(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}(32)(\frac{\pi}{2}) = 8\pi$$ см$$^2$$.