Около окружности описана равнобедренная трапеция с основаниями 5 и 3. Найдите радиус окружности.

Пусть основания трапеции равны $$a=5$$ и $$b=3$$. Высота трапеции $$h$$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $$h=2R$$.

В равнобедренной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон: $$a+b = 2c$$, где $$c$$ - боковая сторона. $$5+3 = 2c ightarrow c=4$$.

Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c=4$$ и катетами $$h$$ и $$rac{a-b}{2} = rac{5-3}{2} = 1$$. По теореме Пифагора: $$h^2 + 1^2 = 4^2 ightarrow h^2 = 16-1 = 15 ightarrow h = \sqrt{15}$$.

Так как $$h=2R$$, то $$R = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$$.