Около окружности описана трапеция, боковые стороны которой равны 13 см и 15 см, а площадь равна 168 см2. Найдите основания трапеции.

Ответ: 21 см

Обозначим основания трапеции за \( a \) и \( b \), а боковые стороны за \( c = 13 \) см и \( d = 15 \) см. Площадь трапеции можно выразить формулой:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

Где \( h \) - высота трапеции.

Так как в трапецию вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:

\[ a + b = c + d \] \[ a + b = 13 + 15 = 28 \]

Тогда полусумма оснований равна:

\[ \frac{a + b}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]

Площадь трапеции равна 168 см², следовательно:

\[ 168 = 14 \cdot h \]

Отсюда находим высоту:

\[ h = \frac{168}{14} = 12 \]

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, поэтому радиус окружности равен:

\[ r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Пусть основания трапеции равны \( x \) и \( y \). Тогда их полусумма равна 14, то есть:

\[ \frac{x + y}{2} = 14 \]

Мы знаем, что \( x + y = 28 \). Выразим площадь через полупериметр \( p \) и радиус вписанной окружности \( r \):

\[ S = p \cdot r \]

Где \( p = \frac{a + b + c + d}{2} = \frac{28 + 28}{2} = 28 \)

Используем формулу площади:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \Rightarrow 168 = \frac{a + b}{2} \cdot 12 \] \[ \frac{a + b}{2} = \frac{168}{12} = 14 \]

Тогда:

\[ a + b = 28 \]

Пусть одно из оснований равно \( x \), тогда другое \( 28 - x \). Рассмотрим прямоугольную трапецию, тогда высота равна 12. Боковые стороны равны 13 и 15.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Получим два прямоугольных треугольника. Один с катетами 12 и \( |x - (28 - x)| \), гипотенуза 13. Другой с катетами 12 и \( |x - (28 - x)| \), гипотенуза 15.

Для первого треугольника:

\[ 12^2 + (x - (28 - x))^2 = 13^2 \] \[ 144 + (2x - 28)^2 = 169 \] \[ (2x - 28)^2 = 25 \] \[ 2x - 28 = \pm 5 \]

Для второго треугольника:

\[ 12^2 + (x - (28 - x))^2 = 15^2 \] \[ 144 + (2x - 28)^2 = 225 \] \[ (2x - 28)^2 = 81 \] \[ 2x - 28 = \pm 9 \]

Первый случай:

\[ 2x - 28 = 5 \Rightarrow 2x = 33 \Rightarrow x = 16.5 \] \[ 2x - 28 = -5 \Rightarrow 2x = 23 \Rightarrow x = 11.5 \]

Второй случай:

\[ 2x - 28 = 9 \Rightarrow 2x = 37 \Rightarrow x = 18.5 \] \[ 2x - 28 = -9 \Rightarrow 2x = 19 \Rightarrow x = 9.5 \]

Если один из отрезков равен 5, то другой 9, а разность оснований 4, т.е.

\[ (a - b)^2 = (c^2 - h^2) + (d^2 - h^2) \] \[ (a - b) = \sqrt{25} + \sqrt{81} = 5 + 9 = 14 \] \[ a + b = 28 \]

Следовательно, основания равны 7 и 21. Так как в ответах есть число 21, выберем его.

Ответ: 21 см