Около правильного треугольника \( ABC \) описана окружность с центром в точке \( O \). Найдите периметр этого треугольника, если расстояние от точки \( O \) до стороны \( AC \) равно \( 10\sqrt{3} \).

Пошаговое решение:

1. Обозначим сторону треугольника как \( a \). Радиус вписанной окружности \( r \) связан со стороной правильного треугольника формулой: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]
2. По условию, \( r = 10\sqrt{3} \). Подставим это значение в формулу и найдем сторону \( a \): \[ 10\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]
3. Умножим обе части уравнения на 6: \[ 60\sqrt{3} = a\sqrt{3} \]
4. Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{3} \): \[ a = 60 \]
5. Периметр правильного треугольника \( P \) равен сумме длин всех его сторон, то есть \[ P = 3a \]
6. Подставим значение \( a = 60 \) в формулу для периметра: \[ P = 3 \cdot 60 = 180 \]

Ответ: 180