Около правильного треугольника описана окружность и в него же вписана окружность. Длина меньшей окружности равна 8π. Найти площадь треугольника и площадь кольца.

Решение:

1. Найдем радиус вписанной окружности.

Длина меньшей (вписанной) окружности равна \( C_{впис} = 2 \pi r \). По условию, \( C_{впис} = 8\pi \).

\( 2 \pi r = 8\pi \)

Разделим обе части на \( 2\pi \):

\( r = \frac{8\pi}{2\pi} = 4 \) (радиус вписанной окружности).

2. Найдем радиус описанной окружности.

Для правильного треугольника радиус описанной окружности \( R \) связан с радиусом вписанной окружности \( r \) соотношением \( R = 2r \).

\( R = 2 \cdot 4 = 8 \) (радиус описанной окружности).

3. Найдем сторону правильного треугольника.

Сторона правильного треугольника \( a \) связана с радиусом вписанной окружности \( r \) формулой \( a = 2 \sqrt{3} r \) или с радиусом описанной окружности \( R \) формулой \( a = R \sqrt{3} \).

Используем \( r = 4 \):

\( a = 2 \sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3} \) (сторона треугольника).

4. Найдем площадь правильного треугольника.

Площадь правильного треугольника \( S_{тр} \) вычисляется по формуле \( S_{тр} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

\( S_{тр} = \frac{\sqrt{3}}{4} (8\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (64 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 192 = 48\sqrt{3} \).

5. Найдем площадь кольца.

Площадь кольца \( S_{кольца} \) равна разности площадей описанной и вписанной окружностей.

Площадь описанной окружности \( S_{опис} = \pi R^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \).

Площадь вписанной окружности \( S_{впис} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \).

\( S_{кольца} = S_{опис} - S_{впис} = 64\pi - 16\pi = 48\pi \).

Ответ: Площадь треугольника равна \( 48\sqrt{3} \), площадь кольца равна \( 48\pi \).