Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 2,5 см. Найдите периметр и площадь этого треугольника, если его катеты относятся как 3:4.

Разбираемся с задачей

Привет! Давай вместе решим эту задачку по геометрии. Не бойся, если что-то покажется сложным, я всё объясню по шагам.

Что нам дано?

• У нас есть прямоугольный треугольник.
• Вокруг него описана окружность.
• Радиус этой окружности (R) равен 2,5 см.
• Катеты этого треугольника относятся друг к другу как 3:4.

Что нужно найти?

• Периметр треугольника (P).
• Площадь треугольника (S).

Ключевые моменты:

1. Свойства окружности, описанной около прямоугольного треугольника: Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а сама гипотенуза является диаметром окружности.
2. Отношение катетов: Если катеты относятся как 3:4, значит, мы можем представить их как 3x и 4x, где 'x' — это какой-то неизвестный коэффициент.

Шаг 1: Находим гипотенузу

Так как радиус окружности R = 2,5 см, то диаметр окружности (d) будет равен:

\[ d = 2 \times R = 2 \times 2.5 \text{ см} = 5 \text{ см} \]

Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, то гипотенуза (c) нашего треугольника равна 5 см.

\[ c = 5 \text{ см} \]

Шаг 2: Находим катеты

Мы знаем, что катеты относятся как 3:4, то есть мы можем обозначить их как 3x и 4x. Также мы знаем, что в прямоугольном треугольнике действует теорема Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставляем наши значения:

\[ (3x)^2 + (4x)^2 = 5^2 \]

\[ 9x^2 + 16x^2 = 25 \]

\[ 25x^2 = 25 \]

\[ x^2 = \frac{25}{25} = 1 \]

\[ x = \sqrt{1} = 1 \]

Теперь мы можем найти длину катетов:

Катет 'a' = 3x = 3 * 1 = 3 см.

Катет 'b' = 4x = 4 * 1 = 4 см.

Шаг 3: Находим периметр

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:

\[ P = a + b + c \]

\[ P = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 12 \text{ см} \]

Шаг 4: Находим площадь

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2 \]

Итоговый ответ

Мы нашли все, что нужно!

Периметр треугольника равен 12 см.

Площадь треугольника равна 6 см².