Около трапеции с основаниями 10 и 22 описана окружность. Найдите площадь трапеции, если сумма ее боковых сторон равна 20.

Дано:

• \[a = 10, b = 22\]
• \[c + d = 20\] (c и d - боковые стороны)
• Описана окружность

Найти:

• \[S\] (Площадь трапеции)

Решение:

1. Свойство описанной окружности: Трапеция, около которой можно описать окружность, является равнобедренной. Это значит, что ее боковые стороны равны: \[c = d\]
2. Находим длину боковой стороны: Так как сумма боковых сторон равна 20, а они равны между собой, то: \[2c = 20 \implies c = 10\]
3. Свойство высоты равнобедренной трапеции: Проведем высоты из концов меньшего основания к большему. Они отсекут от большего основания два равных отрезка: \[x = \frac{|b - a|}{2} = \frac{|22 - 10|}{2} = \frac{12}{2} = 6\]
4. Находим высоту трапеции (h): Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (10), отрезком (6) и высотой (h): \[c^2 = x^2 + h^2\] \[10^2 = 6^2 + h^2\] \[100 = 36 + h^2\] \[h^2 = 100 - 36\] \[h^2 = 64\] \[h = \sqrt{64} = 8\]
5. Находим площадь трапеции: Формула площади трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \times h\] \[S = \frac{10 + 22}{2} \times 8\] \[S = \frac{32}{2} \times 8\] \[S = 16 \times 8\] \[S = 128\]

Ответ: 128