Окружность и прямая заданы уравнениями (х – 3)2 + (у – 2)2 = 25 и у = х - 6. Найди длину хорды, которую отсекает окружность на прямой. Выбери верный вариант.

Решим задачу по геометрии.

Уравнение окружности имеет вид $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где $$(a; b)$$ - координаты центра окружности, $$R$$ - радиус окружности.

В нашем случае, центр окружности в точке $$(3; 2)$$, радиус окружности $$R = 5$$.

Прямая задана уравнением $$y = x - 6$$.

Длина хорды, которую отсекает окружность на прямой, может быть найдена, как расстояние между точками пересечения прямой и окружности.

Найдем точки пересечения, для этого решим систему уравнений:

$$\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25 \\ y = x - 6 \end{cases}$$

Подставим выражение для $$y$$ из второго уравнения в первое:

$$(x - 3)^2 + (x - 6 - 2)^2 = 25$$

$$(x - 3)^2 + (x - 8)^2 = 25$$

$$x^2 - 6x + 9 + x^2 - 16x + 64 = 25$$

$$2x^2 - 22x + 73 - 25 = 0$$

$$2x^2 - 22x + 48 = 0$$

$$x^2 - 11x + 24 = 0$$

Решим квадратное уравнение.

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$

$$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Найдем соответствующие значения $$y$$:

$$y_1 = x_1 - 6 = 8 - 6 = 2$$

$$y_2 = x_2 - 6 = 3 - 6 = -3$$

Итак, точки пересечения прямой и окружности: $$(8; 2)$$ и $$(3; -3)$$.

Расстояние между этими точками (длина хорды) равна:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(3 - 8)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$

Ответ: $$5\sqrt{2}$$