Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 12, 14 и 16. Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 12.

Пусть стороны треугольника равны $$a=12$$, $$b=14$$, $$c=16$$. Пусть $$x$$, $$y$$, $$z$$ - отрезки касательных от вершин до точек касания. Тогда $$a = x+y$$, $$b = y+z$$, $$c = x+z$$. Решая систему уравнений, получаем $$x=5$$, $$y=7$$, $$z=9$$. Наибольший отрезок равен 9.